线段树
来源：互联网 发布：flord算法 编辑：程序博客网 时间：2024/04/29 22:57
有n个格子，从左到右放成一排，编号为1-n。
共有m次操作，有3种操作类型：
1.修改一个格子的权值，
2.求连续一段格子权值和，
3.求连续一段格子的最大值。
对于每个2、3操作输出你所求出的结果。
第一行2个整数n，m。
接下来一行n个整数表示n个格子的初始权值。
接下来m行，每行3个整数p,x,y，p表示操作类型，p=1时表示修改格子x的权值为y，p=2时表示求区间[x,y]内格子权值和，p=3时表示求区间[x,y]内格子最大的权值。
有若干行，行数等于p=2或3的操作总数。
每行1个整数，对应了每个p=2或3操作的结果。
1 2 3 4
2 1 3
1 4 3
3 1 4
3
对于20%的数据n <= 100，m <= 200。
对于50%的数据n <= 5000，m <= 5000。
对于100%的数据1 <= n <= 100000，m <= 100000，0 <= 格子权值 <= 10000。
解题分析：
首先，我们初看到这个题目，你可能会用数组去解答，你可能这么想....
1：修改权值（直接将数组赋值）；
2：求连续一段权值和（直接for循环搞定）；
3：连续一段格子最大值：（还是for循环OK）；
但是，我们再来仔细看一下题目：对于100%的数据1 <= n <= 100000，m <= 100000，0 <= 格子权值 <= 10000。时间限制：1.0s。
说明有10^5个格子，同时需要操作10^5次；操作1：时间复杂度O(1)，但是操作2,3：时间复杂度O(n)，所以执行完需要时间：
t = n * n = 10^10(10亿次)。而我们知道，计算机1s钟一般只能达到10^9(1亿次)。所以，如果我们用数组的话，会运行超时。
这里我们用另外一种方法，线段树，来解决这个问题。
线段树：
接下来我们分析一下何为线段树，简单的说，顾名思义，就是将一段线段（如：1-10），不断的划分，形成一棵树，如下图：
那我们把一段线段（1-10）搞成一棵树有什么用呢？（可能你会觉得好好的数组不用，搞这么深奥的树，最后叶子节点还不是1,2,3..,10么），不急，慢慢看。
目前这颗线段树还是一颗空树，因为每个结点上面我们还没有给它挂上一个值，接下来我们给结点挂值。
根据题目要求输入格子数目（假设n = 10，配合上面的图），然后给格子初始权值（如：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）
现在开始给线段树结点挂值：
//定义结构体：线段树 typedef struct node { int max, sum; //统计线段树的最大值、和 int left,right; //线段树区间的左右值 struct node *lchild; //左子树 struct node *rchild; //右子树 }XNode; 第一个值（权值：1）：
第一步：1掉在（1-10）区间，该结点max = 1; sum = 1;
第二步：1掉在（1-3）区间，该节点max = 1; sum = 1;
第三步：1掉在(1-2)区间，该结点max = 1, sum = 1;
第四步：1掉在（1）结点上，OVER
第二个值（权值：2）：
第一步：2掉在（1-10）区间，因为2要大于开始的1，所以，max = 2; sum = 1+2;
第二步：2掉在（1-3）区间，同上max = 2; sum = 1+2;
第三步：2掉在(1-2)区间，该结点max = 2, sum = 1+2;
第四步：2掉在（2）结点上，OVER
//.................省略一部分
第七个值（权值：7）：
第一步：7掉在（1-10）区间，因为7要大于上一步的max，所以，max = 7; sum = 1+2+3+4+5+6+7;
第二步：7掉在（6-10）区间，同上max = 7; sum = 6+7;
第三步：7掉在(6-8)区间，该结点max = 7, sum = 6+7;
第四步：7掉在（6-7）区间，该结点max = 7; sum = 6+7;
第五步：7掉在（7）结点上，OVER
一直到将最后一个值（10）挂上线段树上面。
此时线段树的状态：（按照结点从上往下写）
根据上面这个表格，现在结果明确了吧？比如我们要得到（1-10）区间的最大值max，直接就可获得；需要（7-8）区间的和sum，也可直接获得。
这就是线段树的优点。
现在遇到另外一个问题：
现在遇到另外一个问题，就是格子权值修改问题，因为一旦我们修改了一个结点权值，它的父亲结点，父亲的父亲结点...它们的max和sum就需要改变。
你有没有很快的额想到递归？对，这里我们就是用递归解决的，首先一直递归找到需要修改的结点，将它的权值修改掉。
然后注意：在递归返回的时候，每返回一层，改变目前结点的max,sum，从而解决了问题。
比如：我们将4这个结点所挂的值修改为100（步骤如下）
第一步：递归，进入（1,10），进入（1,5），进入（4,5），进入（4），将4上面挂的值修改为100
ps:此时结点（4）max =100, sum = 100
第二步：第一次返回，进入（4,5），将max改为100，sum(4,5) = sum(4)+sum(5)
第三步：第二次返回，进入（1,5），将max改为100，sum(1,5) = sum(1,3) + sum(4,5)
第四步：第三次返回，进入（1,10），将max改为100，sum(1,10) = sum(1,5) + sum(6,10)........OVER
代码如下：//1.修改格子权值 void Modify(XNode *xTree, int point, int value) { if (xTree->left == point && xTree->right == point) //找到该结点，修改 { xTree->max = value;//修改最大值 xTree->sum = value;//修改和 return; } else { int mid = (xTree->left+xTree->right)/2; if (point <= mid) //往左子树搜索 Modify(xTree->lchild,point,value); else //往右子树搜索 Modify(xTree->rchild,point,value); xTree->max = maxValue(xTree->lchild->max,xTree->rchild->max);//修改最大值：从下往上 xTree->sum = xTree->lchild->sum + xTree->rchild->sum; //修改和 ：下->上 } return; } 好了，问题就分析到这里了，另外如果还有不明白的地方直接看附录就行了，我认为注释已经够详细了。附录：
/* Name: 蓝桥杯：操作格子（线段树） Copyright: 供交流 Author: Jopus Date: 05/02/14 23:06 Description: dev-cpp 5.5.3 */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> //定义结构体：线段树 typedef struct node { int max, sum; //统计线段树的最大值、和 int left,right; //线段树区间的左右值 struct node *lchild; //左子树 struct node *rchild; //右子树 }XNode; //返回最大值 int maxValue(int max, int temp) { if (temp > max) max = temp; return max; //返回最大值 } //创建线段树 XNode *CreateXTree(int left, int right) //传进区间左右值 { XNode *xTree = (XNode *)malloc(sizeof(XNode)); xTree->left = left; //给左端赋值 xTree->right = right; //给右端赋值 xTree->max = 0; //线段树：结点维护内容 xTree->sum = 0; xTree->lchild = NULL; //子树初始化 置空 xTree->rchild = NULL; //置空 if (right != left) //right != left 元区间 { int mid = (left+right)/2; //区间中点 xTree->lchild = CreateXTree(left, mid); //创建左子树 xTree->rchild = CreateXTree(mid+1, right); //创建右子树 } return xTree; } //插入一条线段 void Insert(XNode *xTree, int point, int value) { xTree->sum += value; //搜索树时，经过某区间 统计 xTree->max = maxValue(xTree->max,value);//maxValue返回最大值 if (xTree->left == xTree->right)//找到该线段 return; else { if (point <= (xTree->left + xTree->right)/2) Insert(xTree->lchild,point,value);//左搜索 else Insert(xTree->rchild,point,value);//右搜索 } return; } //1.修改格子权值 void Modify(XNode *xTree, int point, int value) { if (xTree->left == point && xTree->right == point) //找到该结点，修改 { xTree->max = value;//修改最大值 xTree->sum = value;//修改和 return; } else { int mid = (xTree->left+xTree->right)/2; if (point <= mid) //往左子树搜索 Modify(xTree->lchild,point,value); else //往右子树搜索 Modify(xTree->rchild,point,value); xTree->max = maxValue(xTree->lchild->max,xTree->rchild->max);//修改最大值：从下往上 xTree->sum = xTree->lchild->sum + xTree->rchild->sum; //修改和 ：下->上 } return; } //2.求连续一段格子权值和 int GeziSum(XNode *xTree, int left, int right) { if (left == xTree->left && right == xTree->right) //找到该线段 return xTree->sum; else { int mid = (xTree->left+xTree->right)/2; if (right <= mid) //往左子树搜索 return GeziSum(xTree->lchild,left,right); else if (left > mid) //往右子树搜索 return GeziSum(xTree->rchild,left,right); else //分叉：左右搜索"和"值 return GeziSum(xTree->lchild,left,mid) + GeziSum(xTree->rchild,mid+1,right); } } //3.求连续一段格子的最大值 int GeziMax(XNode *xTree, int left, int right) { if (left == xTree->left && right == xTree->right) //找到该线段 return xTree->max; else { int mid = (xTree->left+xTree->right)/2; if (right <= mid) //往左子树搜索 return GeziMax(xTree->lchild,left,right); else if (left > mid) //往右子树搜索 return GeziMax(xTree->rchild,left,right); else //分叉：返回搜索到的最大值 return maxValue(GeziMax(xTree->lchild,left,mid),GeziMax(xTree->rchild,mid+1,right)); } } //主函数 int main() { int m = 0, n = 0, i = 0, j = 0; XNode *xTree = NULL; int input[100000][3] = {0}; //input[][0]：操作序号，input[][1]：x，input[][2]：y int Gezi = 0; scanf("%d%d",&n,&m); //n：格子个数, m：操作次数 xTree = CreateXTree(1,n); //创建线段树,区间：1~n for (i = 1; i <= n; ++i) //给格子赋权值,Gezi； { scanf("%d",&Gezi); Insert(xTree,i,Gezi); //给线段树赋值 } for (i = 0; i < m; ++i) for (j = 0; j < 3; ++j) //一个循环，输入3次：0,1,2 scanf("%d",&input[i][j]); for (i = 0; i < m; ++i) //执行操作 { switch(input[i][0]) { case 1:Modify(xTree,input[i][1],input[i][2]); break;//修改线段权值 case 2:printf("%d\n",GeziSum(xTree,input[i][1],input[i][2])); break;//返回线段和 case 3:printf("%d\n",GeziMax(xTree,input[i][1],input[i][2])); break;//返回线段最大值 default:break; } } return 0; }参考文献：
程序猿之洞CSDN博客 http://blog.csdn.net/acmman/article/details/18631017 ，2014年2月9日
百度百科，http://baike.baidu.com/view/670683.htm ，2014年2月9日
转载请保留原文地址：http://blog.csdn.net/jpous/article/details/18965325- 线段树？线段树！
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