分治法、动态规划与贪心算法

分治法：将原问题划分为n个规模较小而结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就可得到原问题的解（即递归解决）

能用分治法解决的问题一般包括四个特征：

1、该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易的解决

2、该问题可以分解为若干规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质

3、利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解

4、该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

不满足3可使用动态规划或贪心算法，不满足4的话递归会有许多重复操作，影响效率

动态规划：

核心思想是将子问题的计算结果保存起来，如果再次遇到同一问题，就不用再次计算了。

一般来说动态规划是自下而上计算答案的集合。

最优子结构：问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的。

动态规划与分治法基本类似，主要用于不互相独立（重复）的子问题的解决。

动态规划算法的设计分为如下四步骤：

1、描述最优解的结构

2、递归定义最优解的值

3、按自底向上的方式计算最优解的值

4、由计算出的结果构造一个最优解

思路：将子问题列成表格，写入表格中已知的初始值，写出状态转移方程（填表）；

贪心算法：

贪心算法是对算法中的每一个决策点做一个看起来是最佳的选择，然后继续以用同样的决策方式计算由此产生的子问题。

可以根据如下步骤来设计贪心算法：

1、将优化问题转化成这样一个问题：即先做出选择，再解决剩下的一个子问题。

2、证明原问题总有一个最优解是做贪心选择得到的。（说明贪心选择得到的解是最优解）

3、子问题的解和所做的选择结合起来可得到原问题的解

动态规划需要将问题的所有子问题的解全部求出，而贪心算法只求当前决策下的最优解。