解决自然数幂和的方法

来源：互联网发布：淘宝全棉时代有假货吗编辑：程序博客网时间：2024/05/01 19:41

题意

\sum i = 1 n i m mod p

呵呵,快速幂

从k次，推到k+1次，求系数

有点复杂，向下面的算法一样，可以从k次，推到k+1次

像快速幂一样，打一个f[i][j]

就是设一个函数再把式子推出来。道理很简单，不细讲。
如需了解差分表，拉格朗日插值法

还不会

我们知道式子a

(n + 1) k + 1 - n k + 1 = C 1 k + 1 * n k + \dots \dots + C k k + 1 * n + 1

(二项式定理)
那么我们转换到

(n + 1) k + 1 - 1 = \sum i = 0 n (n + 1) i + 1 - n i + 1

根据式子a
我们可以得到

(n + 1) k + 1 - 1 = C 1 k + 1 \sum i = n n * i k + \dots \dots + C k k + 1 \sum i = n n * i + n + 1

进一步得到式子b

\sum i = n n i k = 1 k + 1 [(n + 1) k + 1 - C 2 k + 1 \sum i = n n * i k - 1 - \dots \dots - C k k + 1 \sum i = n n * i - n - 1]

很明显这些式子与所有的1到n的1到k-1次幂有关，所以是一个递推式
设

S (n, k) = \sum i = n n i k

用s代替式子b中的部分

S (n, k) = 1 k + 1 [(n + 1) k + 1 - C 2 k + 1 S (n, k - 1) - \dots \dots - C k k + 1 S (n, 1) - n - 1]

我们初始化s(n,0)=n+1(因为题目要求0^0=1)，s(n,1)=n(n+1)/2
那么就可以递推着做自然数幂和了。
如需了解差分表，请转差分表

伯努利数原本就是处理等幂和的问题。
可以推得

\sum i = n n i k = 1 k + 1 \sum i = 1 k + 1 C i k + 1 * B k + 1 - i * (n + 1) i

因为

\sum k = 0 n C k n + 1 B k = 0 (B 0 = 1)

所以

B n = - 1 n + 1 (C 0 n + 1 B 0 + C 1 n + 1 B 1 + \dots \dots C n - 1 n + 1 B n - 1)

伯努利数的证明十分复杂，有些东西其实可以不用弄懂，当做一个黑盒算法。
公式简单易记。

其实第一类斯特林数的概念十分好懂。
如需了解第一类斯特林数，请转第一类斯特林数
首先我们设

S k (n) = \sum i = 0 n i k

根据第一类斯特林数的定义（P是排列数，C是组合数,s是Stirling）

C k n = P k n k ! = \sum k i = 0 ( - 1 ) i + k s ( k , i ) n i k !

那么我们用P每次减去一个少一位的对应斯特林式子就得到了

jk，在求和就是

Sk(n)。
所以

S k (n) =

\sum j = 0 n (k! C k j - \sum i = 0 k - 1 (- 1) i + k s (k, i) j i)

拆括号

= k! \sum j = 0 n C k j - \sum i = 0 k - 1 (- 1) i + k s (k, i) \sum j = 0 n j i

因为

∑mi=0Cni=Cn+1m+1（证明：Cn+1m+1=Cnm+Cn+1m,那么等式两边就把Cnm消掉了，然后Cn+1m=Cm−1n+Cn−1m−1,然后又把Cnm−1消掉了，依此类推，最后全部都消掉了）

= k! C n + 1 k + 1 - \sum i = 0 k - 1 (- 1) i + k s (k, i) S i (n)

在转换为用排列数的

= P k + 1 n + 1 k + 1 - \sum i = 0 k - 1 (- 1) i + k s (k, i) S i (n)

那么我们只需要用

O(k2)地预处理出第一类斯特林数，然后按k来递推了，边界是

S1(n)=n(n+1)/2
主要运用了第一类斯特林数与排列式P的关系。
不知道WerKeyTom_FTD为什么搞出个带不带符号那么麻烦……

转载并详细解说自GEOTCBRL%%%
打blog的灵感来自看了WerKeyTom_FTD
不过自我感觉十分详细。

1 0