0-1背包问题动态规划

基本的0-1背包问题。这里的物品一般指花瓶、玉器什么的，要么拿，要么不拿，只有0和1两种状态，所以也叫0-1背包。

初学者有时会认为，0-1背包可以这样求解：计算每个物品的，然后依据的值，对所有的物品从大到小进行排序。其实这种贪心方法是错误的。如下表，有三件物品，背包的最大负重量是50，求可以取得的最大价值。

其实，0-1背包是DP的一个经典实例，可以用动态规划求解。

0-1背包问题：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

转移方程如图所示。

解释一下上面的方程：将前i件物品放入容量为j的背包中这个问题时，如果只考虑第i件物品放或者不放，那么就可以转化为只涉及前i-1件物品的问题。
1）如果不放第i件物品，则问题转化为前i-1件物品放入容量为j的背包中。

2）如果，即背包剩余容量可以容纳第i件物品，那么放第i件物品，则问题转化为前i-1件物品放入剩下的容量为的背包中，此时能获得的最大价值就是再加上通过放入第i件物品获得的价值。则的值就是1）、2）中最大的那个值。

代码如下

public class Demo1 {    //总的重量    int totalWeight ;    //物品个数    int number ;    public Demo1(int number,int totalWeight){        this.totalWeight = totalWeight ;        this.number = number ;    }    public int knapsack(int w[],int v[]){        int m[][] = new int[number+1][totalWeight+1] ;        for(int j=0;j<totalWeight+1 ;j++){            m[0][j] = 0 ;        }        for(int i=0;i<number+1;i++){            m[i][0] = 0 ;        }        for(int i=1;i<number+1;i++){            for(int j=1;j<totalWeight+1;j++){                if(j>=w[i-1]){                    m[i][j] = Math.max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]) ;                }else{                    m[i][j] = m[i-1][j] ;                }            }        }        for(int i=0;i<number+1;i++){            for(int j=0;j<totalWeight+1;j++){                System.out.print(m[i][j]+ " " );            }            System.out.println();        }        return m[number][totalWeight] ;    }    public static void main(String args[]){        //重量        int w[] = {3,4,5} ;        //价值        int v[] = {4,5,6} ;        Demo1 demo = new Demo1(3,10) ;        int weight = demo.knapsack(w,v) ;        System.out.println(weight);    }}

背包容量的增长如图所示