Manacher算法

---

1.算法简介

这个算法要解决的就是一个字符串中最长的回文子串有多长。这个算法可以在O（n）的时间复杂度内既线性时间复杂度的情况下，求出以每个字符为中心的最长回文有多长。
算法的关键在于比较过的对称字符不再比较是否相等。

2. 算法流程

（1） 在每两个相邻字符中间插入一个分隔符
这样就非常巧妙的将奇数长度回文串与偶数长度回文串统一起来考虑了（回文串长度全为奇数了）

（2）用一个辅助数组P记录以每个字符为中心的最长回文串的信息。

   见下面的一个例子，P［id］记录的是以字符str［id］为中心的最长回文串，当以str［id］为第一个字符，这个最长回文串向右延伸了P［id］个字符。原串：    w aa bwsw f d新串：   # w# a # a # b# w # s # w # f # d #

辅助数组P： 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1

    这里有一个很好的性质，P［id］-1就是该回文子串在原串中的长度。

（3）P［i］的求法
由于这个算法是线性从前往后扫的。那么当我们准备求P［i］的时候，i以前的P［j］我们是已经得到了的。我们用mx记在i之前的回文串中，延伸至最右端的位置。同时用id这个变量记下取得这个最优mx时的id值。

if( mx > i)    p[i]=MIN( p[2*id-i], mx-i);

就是当前面比较的最远长度mx>i的时候，P［i］有一个最小值；只需将从mx开始进行回文窜比较。

3.原理

（盗图）

4.实例及时间复杂度分析

leetcode中的：Longest Palindromic Substring

class Solution(object):    def longestPalindrome(self, s):        """        :type s: str        :rtype: str        """        if len(s) == 0:            return ""        # Manacher Algorithm        insertChar = "#"        s1 = insertChar + insertChar.join(s) + insertChar        p = [1] * (2*len(s) +1)        id,mx = 0,0        max_id,max_len = 1,1        for i in range(len(s1)):            if mx > i:                p[i] = min(mx - i, p[2*id - i])            while i + p[i] < len(s1) and i - p[i] >= 0 and s1[i+p[i]] == s1[i-p[i]]:                p[i] += 1            if i + p[i] > mx:                mx = i + p[i]                id = i            if p[i] - 1 > max_len:                max_len = p[i] - 1                max_id = i        #restore to original string        idInS = (max_id + 1)//2 - 1        leftLen = (max_len - 1)//2        rightLen = max_len - 1 - leftLen        res = s[idInS-leftLen:idInS+rightLen +1]        return res

时间复杂度分析：设在第i 个字符比较对称字符串是否相等的过程中，相等的次数为mi，不相等的次数为ni,显然ni=1.因此：时间复杂度T=∑n−1i=0(mi+ni)=∑n−1i=0mi+∑n−1i=0ni=n+n=2n＝O(n)