加条件的随机变量和多个随机变量的独立性课程笔记

Conditional PMFs

pX|Y(x|y)=P(X=x|Y=y)=P(X=x and Y=y)P(Y=y)=pX,Y(x,y)pY(y) 定义的y使得pY(y)>0

∑xpX|Y(x|y)=1

pX,Y(x,y)=pY(y)pX|Y(x|y)

pX,Y(x,y)=pX(x)pY|X(y|x)

多个随机变量的Conditional PMFs

Conditional expectation and the total expectation theorem

conditional expectation

注意：只要E[|X|]<∞，那么当随机变量Y的集合是离散且无穷时上面公式也成立。

随机变量的独立性

对于所有的x,y,z，如果pX,Y,Z(x,y,z)=pX(x)pY(y)pZ(z)成立，那么X,Y,Z是相互独立的。

独立性和期望

1、E[aX + b] = aE[X] + b

2、E[X + Y + Z] = E[X] + E[Y] + E[Z]

上面两个公式在什么条件下都成立。

如果X,Y是独立的，那么g(X)和h(Y)也是独立的，那么可得如下2个公式：

1、E[XY] = E[X]E[Y]

2、E[g(X)h(Y)] = E[g(X)] * E[h(Y)]

上述公式推导过程如下：

E[XY]=∑x∑yxypX,Y(x,y)=∑x∑yxypX(x)pY(y)=∑xxpX(x)∑yypY(y)=E[X]E[Y]

独立性和方差

二项分布的方差

例题