二进制移位实现加减乘除

1. 题目描述

如何使用位操作分别实现整数的加减乘除四种运算？

2. 解决方案

需要熟练掌握一些常见功能的位操作实现，具体为：

<1> 常用的等式：-n = ~(n-1) = ~n+1

<2> 获取整数n的二进制中最后一个1：n&(-n) 或者 n&~(n-1)，如：n=010100，则-n=101100，n&(-n)=000100

<3> 去掉整数n的二进制中最后一个1：n&(n-1)，如：n=010100，n-1=010011，n&(n-1)=010000

（1） 加法实现

可以很容易地用“异或”和“或”操作实现整数加法运算：对应位数的“异或操作”可得到该位的数值，对应位的“与操作”可得到该位产生的高位进位，如：a=010010，b=100111，计算步骤如下：

第一轮：a^b=110101，(a&b)<<1=000100， 由于进位（000100）大于0，则进入下一轮计算，a=110101，b=000100，a^b=110001，(a&b)<<1=001000，由于进位大于0，则进入下一轮计算：a=110001，b=001000，a^b=111001，(a&b)<<1=0，进位为0，终止，计算结果为：111001。

代码如下：

intadd(inta,intb) {

  intcarry, add;

  do{

    add = a ^ b;

    carry = (a & b) << 1;

    a = add;

    b = carry;

  }while(carry != 0);

  returnadd;

}

（2） 减法实现

减法可很容易地转化为加法：a - b = a + (-b) = a + (~b + 1 )

代码如下：

intsubtract(inta,intb) {

  returnadd(a, add(~b, 1));

}

（3） 乘法实现

先看一个实例：1011*1010：

1011

   * 1010

 ----------

    10110 < 左移一位，乘以0010

+ 1011000 < 左移3位，乘以1000

----------

  1101110

因而乘法可以通过系列移位和加法完成。最后一个1可通过b&~(b-1)求得，可通过b& (b-1)去掉，为了高效地得到左移的位数，可提前计算一个map，代码如下：

intmultiply(inta,intb) {

  boolneg = (b < 0);

  if(b < 0)

    b = -b;

  intsum = 0;

  map<int,int> bit_map;

  for(inti = 0; i < 32; i++)

    bit_map.insert(pair<int,int>(1 << i, i));

    while(b > 0) {

      intlast_bit = bit_map[b & ~(b - 1)];

      sum += (a << last_bit);

      b &= b - 1;

    }

  if(neg)

    sum = -sum;

  returnsum;

}

（4） 除法实现

乘法可很容易转化为减法操作，主要思想与乘法实现类似，代码如下：

intdivide(inta,intb) {

  boolneg = (a > 0) ^ (b > 0);

  if(a < 0)

    a = -a;

  if(b < 0)

    b = -b;

  if(a < b)

    return0;

  intmsb = 0;

  for(msb = 0; msb < 32; msb++) {

    if((b << msb) >= a)

      break;

  }

  intq = 0;

  for(inti = msb; i >= 0; i--) {

    if((b << i) > a)

      continue;

    q |= (1 << i);

    a -= (b << i);

  }

  if(neg)

    return-q;

  returnq;

}