POJ 1061 青蛙的约会

 

青蛙的约会

Time Limit: 1000MSMemory Limit: 10000KTotal Submissions: 102326Accepted: 19803

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

 

题意是一个收尾相接的数轴，长度为l，A和B在数轴上x和y点，x和y可能相同，也可能不同，他们具有速度m和n，只有两者坐标完全相同的时候他们才会相遇，问最短什么时候相遇。

一个追及问题，如果我们直接列公式有(n - m) * t + p * l = x - y，然后直接爆搜p的值，那么倘若x 和 y差值极大，n 和 m差值极小，就会运算10的九次幂级别的运算次数，导致超时，所以需要优化求解。

抽象出列出的公式为ap + bq = c，其中a = n - m， b = l， c = x - y。然后我们需要这个公式：

若有ap+bq=c成立，则有c % gcd(a, b) = 0.

所以在这里就可以把无解的点输出Impossible，只要判断c可否被gcd(a,b)除开就好。其中gcd直接用辗转相除法解决即可。

之后我们在等式两边都除以gcd(a,b)化简这个式子，得到a1p + b1q = c1

此时直接通过扩展欧几里得算法(extend_gcd)，算出p和q的解。这里用到我们的第二个公式：

如果ap + bq = c算出解p0，q0，那么就可以得到所有的解 p = p0 + b * t，q = q0 - a * t

通过上式，我们就可以算出t，有最终解t = (p0 % b + b) % b,这个括号中加的一个b是为了保证在p != 0的时候出现的负值的情况，代码如下：

/*************************************************************************> File Name: 青蛙的约会.cpp> Author: ZhangHaoRan> Mail: [e-mail]> Created Time: 2016年03月11日 星期五 06时57分53秒 ************************************************************************/#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<string>#include<vector>#include<set>#include<map>#include<queue>#include<list>#include<algorithm>using namespace std;long long gcd(long long a, long long b){    if(b == 0){        return a;    }    else        return gcd(b, a % b);}void extend_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){    if(a == 0 && b == 0)        return ;    if(b == 0){        x = 1;        y = 0;        return ;    }    extend_gcd(b, a % b, x, y);    long long int t = x;    x = y;    y = t - a / b * y;    return ;}int main(void){    long long x, y, m, n, l;    cin >> x >> y >> m >> n >> l;    long long a = n - m;    long long b = l;    long long c = x - y;    long long p, q;    long long int d = gcd(a, b);    if(c % d){        cout << "Impossible" << endl;        return 0;    }        a /= d;    b /= d;    c /= d;        extend_gcd(a, b, p, q);    p *= c;    long long ans = (p % b + b) % b;    cout << ans << endl;    return 0;}

 

查看原文：http://chilumanxi.org/2016/03/11/poj-1061-%e9%9d%92%e8%9b%99%e7%9a%84%e7%ba%a6%e4%bc%9a/