附加理论材料课程笔记

几何PMF的方差

容斥定理

我们可以用指示器随机变量来推导出上面的公式：

通过先前的学习，已经知道对于一个事件A的指示器随机变量的期望为E[IA]=P(A)。

设事件A = A1∪A2∪A3，它的指示器随机变量为IA，则P(A)=E[IA]

设事件A1的指示器随机变量为X1，则Ac1的指示器随机变量为1 - X1；
设事件A2的指示器随机变量为X2，则Ac2的指示器随机变量为1 - X2；
设事件A3的指示器随机变量为X3，则Ac3的指示器随机变量为1 - X3；

根据De Morgan’s laws可得：A1∪A2∪A3=1−Ac1∩Ac2∩Ac3

E[IA]=E[1−(1−X1)(1−X2)(1−X3)]=E[1−1+X1+X2+X3−X1∗X2−X1∗X3−X2∗X3+X1∗X2∗X3]

根据期望的线性性质可得：E[IA]=P(A1)+P(A2)+P(A3)−P(A1∩A2)−P(A1∩A3)−P(A2∩A3)+P(A1∩A2∩A3)=P(A)=P(A1∪A2∪A3)

同理可证更为通用的表达式如下：

随机变量的独立性与事件的独立性之间的关系