并查集
来源:互联网 发布:安卓应用商店 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 08:09
作者:CYJB
出处:http://www.cnblogs.com/cyjb/
GitHub:https://github.com/CYJB/
本文大部分为转载,因本人觉得写的好,借鉴一下。
并查集
并查集(Union-find Sets)是一种非常精巧而实用的数据结构,它主要用于处理一些不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求连通子图、求最小生成树的 Kruskal 算法和求最近公共祖先(Least Common Ancestors, LCA)等。
使用并查集时,首先会存在一组不相交的动态集合
每个集合可能包含一个或多个元素,并选出集合中的某个元素作为代表。每个集合中具体包含了哪些元素是不关心的,具体选择哪个元素作为代表一般也是不关心的。我们关心的是,对于给定的元素,可以很快的找到这个元素所在的集合(的代表),以及合并两个元素所在的集合,而且这些操作的时间复杂度都是常数级的。
并查集的基本操作有三个:
- makeSet(s):建立一个新的并查集,其中包含 s 个单元素集合。
- unionSet(x, y):把元素 x 和元素 y 所在的集合合并,要求 x 和 y 所在的集合不相交,如果相交则不合并。
- find(x):找到元素 x 所在的集合的代表,该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合,只要将它们各自的代表比较一下就可以了。
并查集的实现原理也比较简单,就是使用树来表示集合,树的每个节点就表示集合中的一个元素,树根对应的元素就是该集合的代表,如图 1 所示。
图 1 并查集的树表示
图中有两棵树,分别对应两个集合,其中第一个集合为
树的节点表示集合中的元素,指针表示指向父节点的指针,根节点的指针指向自己,表示其没有父节点。沿着每个节点的父节点不断向上查找,最终就可以找到该树的根节点,即该集合的代表元素。
现在,应该可以很容易的写出 makeSet 和 find 的代码了,假设使用一个足够长的数组来存储树节点(很类似之前讲到的静态链表),那么 makeSet 要做的就是构造出如图 2 的森林,其中每个元素都是一个单元素集合,即父节点是其自身:
图 2 构造并查集初始化
相应的代码如下所示,时间复杂度是
const
int
MAXSIZE = 500;
int
uset[MAXSIZE];
void
makeSet(
int
size) {
for
(
int
i = 0;i < size;i++) uset[i] = i;
}
接下来,就是 find 操作了,如果每次都沿着父节点向上查找,那时间复杂度就是树的高度,完全不可能达到常数级。这里需要应用一种非常简单而有效的策略——路径压缩。
路径压缩,就是在每次查找时,令查找路径上的每个节点都直接指向根节点,如图 3 所示。
图 3 路径压缩
我准备了两个版本的 find 操作实现,分别是递归版和非递归版,不过两个版本目前并没有发现有什么明显的效率差距,所以具体使用哪个完全凭个人喜好了。
int
find(
int
x) {
if
(x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]);
return
uset[x];
}
int
find(
int
x) {
int
p = x, t;
while
(uset[p] != p) p = uset[p];
while
(x != p) { t = uset[x]; uset[x] = p; x = t; }
return
x;
}
最后是合并操作 unionSet,并查集的合并也非常简单,就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根,如图 4 所示。
图 4 并查集的合并
这里也可以应用一个简单的启发式策略——按秩合并。该方法使用秩来表示树高度的上界,在合并时,总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根。简单的说,就是总是将比较矮的树作为子树,添加到较高的树中。为了保存秩,需要额外使用一个与 uset 同长度的数组,并将所有元素都初始化为 0。
void
unionSet(
int
x,
int
y) {
if
((x = find(x)) == (y = find(y)))
return
;
if
(rank[x] > rank[y]) uset[y] = x;
else
{
uset[x] = y;
if
(rank[x] == rank[y]) rank[y]++;
}
}
下面是按秩合并的并查集的完整代码,这里只包含了递归的 find 操作。
const
int
MAXSIZE = 500;
int
uset[MAXSIZE];
int
rank[MAXSIZE];
void
makeSet(
int
size) {
for
(
int
i = 0;i < size;i++) uset[i] = i;
for
(
int
i = 0;i < size;i++) rank[i] = 0;
}
int
find(
int
x) {
if
(x != uset[x]) uset[x] = find(uset[x]);
return
uset[x];
}
void
unionSet(
int
x,
int
y) {
if
((x = find(x)) == (y = find(y)))
return
;
if
(rank[x] > rank[y]) uset[y] = x;
else
{
uset[x] = y;
if
(rank[x] == rank[y]) rank[y]++;
}
}
除了按秩合并,并查集还有一种常见的策略,就是按集合中包含的元素个数(或者说树中的节点数)合并,将包含节点较少的树根,指向包含节点较多的树根。这个策略与按秩合并的策略类似,同样可以提升并查集的运行速度,而且省去了额外的 rank 数组。
这样的并查集具有一个略微不同的定义,即若 uset 的值是正数,则表示该元素的父节点(的索引);若是负数,则表示该元素是所在集合的代表(即树根),而且值的相反数即为集合中的元素个数。相应的代码如下所示,同样包含递归和非递归的 find 操作:
const
int
MAXSIZE = 500;
int
uset[MAXSIZE];
void
makeSet(
int
size) {
for
(
int
i = 0;i < size;i++) uset[i] = -1;
}
int
find(
int
x) {
if
(uset[x] < 0)
return
x;
uset[x] = find(uset[x]);
return
uset[x];
}
int
find(
int
x) {
int
p = x, t;
while
(uset[p] >= 0) p = uset[p];
while
(x != p) {
t = uset[x];
uset[x] = p;
x = t;
}
return
x;
}
void
unionSet(
int
x,
int
y) {
if
((x = find(x)) == (y = find(y)))
return
;
if
(uset[x] < uset[y]) {
uset[x] += uset[y];
uset[y] = x;
}
else
{
uset[y] += uset[x];
uset[x] = y;
}
}
如果要获取某个元素 x 所在集合包含的元素个数,可以使用 -uset[find(x)] 得到。
并查集的空间复杂度是
例题:病毒
病毒Time Limit: 1000 MSMemory Limit: 65536 KTotal Submit: 1814(466 users)Total Accepted: 631(408 users)Rating:Special Judge: NoDescription某种病毒袭击了某地区,该地区有N(1≤N≤50000)人,分别编号为0,1,...,N-1,现在0号已被确诊,所有0的直接朋友和间接朋友都要被隔离。例如:0与1是直接朋友,1与2是直接朋友,则0、2就是间接朋友,那么0、1、2都须被隔离。现在,已查明有M(1≤M≤10000)个直接朋友关系。如:0,2就表示0,2是直接朋友关系。
请你编程计算,有多少人要被隔离。
第一行包含两个正整数N(1≤N≤50000),M(1≤M≤100000),分别表示人数和接触关系数量;
在接下来的M行中,每行表示一次接触,;
每行包括两个整数U, V(0 <= U, V < N)表示一个直接朋友关系。
输出数据仅包含一个整数,为共需隔离的人数(包含0号在内)。
Sample Input100 4
0 1
1 2
3 4
4 5
3
#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;#define N 50005int n, m;int f[N];int init(int n){ for(int i=0; i<n; i++) //这三个函数本人习惯这么写。。。。 f[i]=i;}int find(int u){ //if(f[u]==u) return find(f[u]); else return f[u]; if(f[u]!=u) f[u]=find(f[u]); return f[u];} void unin(int u, int v){ int fu=find(u); int fv=find(v); if(fu==fv) return ; else f[fv]=fu;}int main(){ while(~scanf("%d%d", &n, &m)){ init(n); for(int i=0; i<m; i++){ int a, b; scanf("%d%d", &a, &b); unin(a, b); } int ans=0; for(int i=0; i<n; i++){ if(find(i)==find(0)){ ans++; } } printf("%d\n", ans); }}
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