算数表达式求值C++实现

为了简化问题，关注算法，本文的讨论基于以下三点：

1. 只考虑 + - * / ( ) 这几个基本运算符，且是二元操作

2. 运算数只考虑 0-9，这10个简单的数，方便从string中取出来

3. 输入的表达式没有语法错误

 

【背景知识】

中缀表示法（Infix expression）：操作符位于两个操作数中间，算术表达式的常规表示法。只用于二元操作符的情况，而且需要用括号和优先规则排除多义性。(A+B)*C-D/(E+F)

前缀表示法（Prefix expression）：也叫波兰表示法，操作符写在操作数的前面。这种方法常用于编译器设计方面。-*+ABC/D+EF

后缀表示法（Postfix expression），逆波兰表示法，操作符位于操作数后面。这种方法使表达式求值很方便。AB+C*DEF+/-

 

前、后缀表示法的三个特征：

1. 操作数的顺序与等价的中缀表示法中操作数的顺序一致

2. 不需要括号

3. 操作符的优先级不相关

 

用二叉树来表示更直观，前、中、后缀表示法分别对应前序、中序、后序遍历得到的结果。

 

 

【算符优先法】

输入中缀表达式，直接求值。首先了解四则运算的规则：

（1） 先乘除，后加减

（2） 从左到右

（3） 先括号内，后括号外

 

根据以上3条规则，在运算的每一步，任意两个相继出现的算符optr1和optr2之间的优先关系有3种：

>：optr1的优先权高于optr2

=：optr1的优先权等于optr2

<：optr1的优先权低于optr2

下表定义了算符之间的优先级。竖：optr1，横：optr2。

 

           

      +    

      -   

      *    

     /    

     (    

     )    

     #    

+

> 

> 

< 

< 

< 

> 

> 

-

> 

> 

< 

< 

< 

> 

> 

*

> 

> 

> 

> 

< 

> 

> 

/

> 

> 

> 

> 

< 

> 

> 

(

< 

< 

< 

< 

< 

=

 

)

> 

> 

> 

> 

 

> 

> 

#

< 

< 

< 

< 

< 

 

=

在表达式的两头，分别加个#符号，当##配对时，代表求值完成。 

由规则（1），+ - 比* / 的优先权低；由规则（2），当optr1=optr2时，令optr1 > optr2；由规则（3），optr1为+ - * / 时的优先级低于 ( 高于 ) ，当optr1为 ( 时，优先级最低，optr1为 ) 时，优先级最高。

 

算法实现：使用两个栈，分别存放操作符和操作数。

1）置操作数栈为空，起始符#入运算符栈。

2）依次读入表达式中的每个字符，如是操作数，入操作数栈；如是运算符，和运算符栈顶符号比较优先权。直到表达式求值完毕，即##配对。

bool IsOperator(char ch)  {      if (ch == '+' || ch == '-' ||          ch == '*' || ch == '/' ||          ch == '(' || ch == ')' || ch == '#')          return true;      else          return false;            }  //运算符的优先关系                           //'+', '-', '*', '/', '(', ')', '#'   char OprRelation[7][7] = {{'>', '>', '<', '<', '<', '>', '>'}, //'+'                            {'>', '>', '<', '<', '<', '>', '>'}, //'-'                            {'>', '>', '>', '>', '<', '>', '>'}, //'*'                            {'>', '>', '>', '>', '<', '>', '>'}, //'/'                            {'<', '<', '<', '<', '<', '=', ' '}, //'('                            {'>', '>', '>', '>', ' ', '>', '>'}, //')'                            {'<', '<', '<', '<', '<', ' ', '='}};//'#'    int ConvertToIndex(char opr)  {      int index;        switch (opr)      {      case '+':          index = 0;          break;      case '-':          index = 1;          break;      case '*':          index = 2;          break;      case '/':          index = 3;          break;      case '(':          index = 4;          break;      case ')':          index = 5;          break;      case '#':          index = 6;          break;      }        return index;  }    char Precede(char opr1, char opr2)  {      int index1 = ConvertToIndex(opr1);      int index2 = ConvertToIndex(opr2);        return OprRelation[index1][index2];  }    int Operate(int opnd1, char op, int opnd2)  {      int ret;        switch(op)      {      case '+':          ret = opnd1 + opnd2;          break;      case '-':          ret = opnd1 - opnd2;          break;      case '*':          ret = opnd1 * opnd2;          break;      case '/':          ret = opnd1 / opnd2;          break;      }        return ret;  }    //算符优先算法  int CaculateExpression(string exp)  {      stack<char> optr; //只处理+ - # / ()运算      stack<int> opnd;  //只处理0-9的整数运算      char ch;      int i = 0;            exp += "#";      optr.push('#');            ch = exp[i++];            //如果##配对，表达式求值完成      while (ch != '#' || optr.top() != '#')      {          if (!IsOperator(ch))          {              //操作数入栈              opnd.push(ch - '0');              ch = exp[i++];          }          else          {              //比较栈顶操作符和新取得的操作符的优先关系              switch (Precede(optr.top(), ch))              {              case '<'://栈顶优先权低                  optr.push(ch);                  ch = exp[i++];                  break;              case '='://括号配对，栈顶括号弹出                  optr.pop();                  ch = exp[i++];                  break;              case '>'://栈顶优先权高，先弹出，计算，结果操作数入栈                  char op = optr.top();                  optr.pop();                  int num2 = opnd.top();//第二个操作数在前                  opnd.pop();                  int num1 = opnd.top();                  opnd.pop();                                    int ret = Operate(num1, op, num2);                                    opnd.push(ret);                  break;              }          }      }//end of while        //操作数栈的唯一元素即为计算结果      return opnd.top();  }  

【前缀->后缀表达式】

1）操作符栈为空，结果字符串为空。

2）依次读入中缀表达式的每个字符

-如是操作数，添加到结果字符串

-如是左括号，入操作符栈

-如是右括号，弹出栈内符号，添加到结果字符串，直到遇到栈内的左括号。弹出左括号。

-如是操作符，弹出栈内符号，添加懂啊结果字符串，直到遇到左括号，或优先级较低的操作符，或统一优先级的右结合符号。此操作符入栈

3）如到达字符串末尾，弹出所有栈内符号，添加到结果字符串

bool Prior(char optr1, char optr2)  {      bool prior = false;        if (optr1 == '*' || optr1 == '/')          if (optr2 == '+' || optr2 == '-')              prior = true;        return prior;  }    //前缀表达式->后缀表达式  string PrefixToPostFix(string exp)  {      string postRet;      stack<char> optr;      int i = 0;      char ch;        while(i < exp.length())      {          ch = exp[i++];          if (IsOperator(ch))          {              switch(ch)              {              case '(':                  optr.push(ch);                  break;              case ')':                  //将栈中最近的一个左括号之上的操作符全部弹出，添加到结果                  while(optr.top() != '(')                  {                      postRet += optr.top();                      optr.pop();                  }                  optr.pop();//丢弃左括号                  break;              case '+':              case '-':              case '*':              case '/':                  //弹出操作符，直到栈为空，或遇到左括号，或优先级较低的操作符                  //或者统一优先级的右结合操作符                  while (!optr.empty() && Prior(optr.top(), ch))                  {                      postRet += optr.top();                      optr.pop();                  }                  optr.push(ch);                  break;              }          }          else          {              postRet += ch;          }      }        //到达字符串末尾，弹出所有操作符，添加到结果      while(!optr.empty())      {          postRet += optr.top();          optr.pop();      }        return postRet;  }  

【后缀表达式求值】

1）初始化操作数栈

2）从左到右依次读入后缀表达式的每个字符，如是操作数，入栈；如是操作符，弹出两个操作数，计算，结果入栈，直到表达式末尾。栈中的唯一数即是结果。注意弹出的第一个操作数是位于运算符右边的数。

//前缀表达式->后缀表达式，再求值  int CaculateExpression_2(string postExp)  {      //先转换成后缀表达式      string exp = PrefixToPostFix(postExp);        stack<int> opnd;      int i = 0;      char ch;            while(i < exp.length())      {          ch = exp[i++];          if(IsOperator(ch))          {              int num2 = opnd.top();              opnd.pop();              int num1 = opnd.top();              opnd.pop();              //计算结果并入栈              int ret = Operate(num1, ch, num2);              opnd.push(ret);          }          else          {              //操作数入栈              opnd.push(ch - '0');          }      }        return opnd.top();  }  

【二叉树法】

可以根据前缀表达式，构造出二叉树，后序遍历即得到后缀表达式。

 

【手动方法】

(A+B)*C-D/(E+F)

1）按照运算符优先级对所有运算单位加括号。(((A+B)*C）-(D/(E+F)))

2）前缀：把运算符移动到对应的括号前面：-(*(+(AB)C)/(D+(EF)))，再去掉括号：-*+ABC/D+EF

3）后缀：把运算符移动到对应的括号后面：(((AB)+C)*(D(EF)+)/)-，再去掉括号：AB+C*DEF+/-

   参考博客：http://blog.csdn.net/lilypp/article/details/6546658