以斐波那契数为例分析算法复杂度

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci[1]  ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

实现方法1：递归

public static void main(String[] args) {

System.out.println("请输入一个整数");
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
long indexOfFib=scanner.nextLong();
System.out.println(fib1(indexOfFib));
}
public static long fib1(long index){
if(index==0){
return 0;
}else if(index==1){
return 1;
}else{
return fib1(index-2)+fib1(index-1);
}
}

算法复杂度分析：设下标为n，c表示常量时间，T（n）=T（n-1）+T（n-2）+c

                                                                                     <=2T（n-1）+c<=2(2T(n-2)+c)+c......=2^(n+1)T(1)

所以复杂度为O（2^n） 

由此可见，递归算法不断的调用自身，会降低算法的效率。

2。不用递归实现斐波那契数列

    public static long fib2(long index){
    long f0=0;
    long f1=1;
    long f2=1;
    if(index==0){
    return f0;
    }else if (index==1){
    return f1;
    }else if (index==2){
    return f2;
    }    
    for(int i=3;i<=index;i++) {
    f0=f1;
    f1=f2;
    f2= f0+f1;
    }return f2;
    }

很显然，不用递归时，算法的复杂度是O（n），效率更高