图计数

题意

给定n,m，求mNmodP。其中，P=999999599，N为将n进行整数拆分的方案数，即将n表示成若干个正整数之和的方案数。

n,m≤200000

Time  Limits:3000ms
Memory  Limits:256M

分析

根据费马小定理，mN=mNmod(P−1)，这个可用快速幂算。我们的问题就是如何求Nmod(P−1)。

我们先想O(N2)的算法。因为每个正整数都能使用若干次，那么这就是一个完全背包问题。但是本题中此算法的复杂度显然不可接受。

我们把正整数以N−−√分界。
那么对于小于等于N−−√的正整数，我们直接完全背包，求出用它们组成和为i的方案数，记为f[i]。这里的时间复杂度是O(NN−−√)
对于大于N−−√的正整数，可以发现，我们最多只会选择N−−√个。记k=N−−√，我们考虑这样一个方程：
设g[i][j]为已经选了i个数，它们的和为j的方案数。
转移：g[i][j]=g[i−1][j−k]+g[i][j−i]

这个方程是什么意思呢？
我们把每个选择的数xi都看成由k加上（xi−k）个1达到的。那么一种选择数的方案{xn}序列，把它们从大到小排序，我们可以在加入第一个k后，将第一个数加上(x1−x2)个1；然后加入第二个k，把前两个数加上(x2−x3)个1；加入第三个k，把前三个数加上(x3−x4)个1 ……这样做到最后，我们把所有数加上(xn−k)个1，我们就能得到这个方案。

这样，我们就同样能以O(NN−−√)的时间复杂度求出g，然后将f和g合并求出组成和为n的方案数就行了。

注意：求f和g要滚动数组。