[从头学数学] 第137节 分式 小结与复习题

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了筑基中期的修炼，
这次要修炼的目标是[分式 小结与复习题]。

正剧开始：

星历2016年03月17日 11:46:50, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[分式 小结与复习题]。

<span style="font-size:18px;">var s = ['2s(s-2t)/(s+2t)','1/(x^[2]-y^[2])','2','(u^[2]-4uv+4v^[2]-2)/(u^[2]-4v^[2])','x^[-6]y^[-9]','9x^[2]/(y^[6]z^[2])'];</span>

小伟想看一看这些分式有没有什么规律，于是随意画了几张图：

<span style="font-size:18px;">//2(1)var result = 0;var array = [];var tmp = [];var colorArray = ['red', 'orange', '#0088FF', 'green', 'cyan', 'blue', '#FF00FF','#888888', 'black'];var count = 0;for (var s = -10; s < 10; s+=2) {array = [];for (var t = -10; t < 10; t+=2) {result = (s-2*t)/(3*s)*(6*Math.pow(s, 2)/(s+2*t));array.push(shape.point3D(s, result/20, t));}tmp = [].concat(array);shape.multiLineDraw(tmp, colorArray[count%8], r);tmp = [].concat(array);shape.pointDraw(tmp, colorArray[count%8], r);count++;</span>

<span style="font-size:18px;">//2(2)var result = 0;var array = [];var tmp = [];var colorArray = ['red', 'orange', '#0088FF', 'green', 'cyan', 'blue', '#FF00FF','#888888', 'black'];var count = 0;for (var z = -10; z < 10; z+=2) {array = [];for (var x = -10; x < 10; x+=2) {//x-->x z-->yresult = (x-z)/(x+z)+Math.pow(x-z, 2);array.push(shape.point3D(x, result/10-5, z));}tmp = [].concat(array);shape.multiLineDraw(tmp, colorArray[count%8], r);tmp = [].concat(array);shape.pointDraw(tmp, colorArray[count%8], r);count++;}</span>

<span style="font-size:18px;">//2(4)var result = 0;var array = [];var tmp = [];var colorArray = ['red', 'orange', '#0088FF', 'green', 'cyan', 'blue', '#FF00FF','#888888', 'black'];var count = 0;var u , v;for (var z = -10; z < 10; z+=2) {array = [];for (var x = -10; x < 10; x+=2) {//x-->u z-->vu = x;v = z;result = (u-2*v)/(u+2*v)-2/(u*u-4*v*v);array.push(shape.point3D(x, result, z));}tmp = [].concat(array);shape.multiLineDraw(tmp, colorArray[count%8], r);tmp = [].concat(array);shape.pointDraw(tmp, colorArray[count%8], r);count++;}</span>

这图可够乱的，小伟完全瞧不出什么规律来，算了，不管它了。

<span style="font-size:18px;">var s = ['6','b^[-1]','(2x^[2]-12x+16)/(x^[2]-16)','1/16p^[2]q^[3]r^[-1]+1/(2q)','x/(1+x^[2])','1/(a-b)','-b/(a+b)','(x+y)/(x-y)']</span>

小伟为了做这些非常烦的题，专门又给以前的多项式添加了一个计算两个多项式相乘的工具：

<span style="font-size:18px;">#### @usage   两个多项式相乘# @author  mw# @date    2016年03月17日  星期四  14:47:14 # @param   限制很多，但对于项数比较多的一层括号，可省不少麻烦# @return#####多项式s1与s2的乘积，s1, s2都不能有括号#它们的单项之间用+号或-号相连#例如a+2b2c3, 2a+4b-c3-1等#代数字母与次数之间不要有其它符号，不要有乘号和除号def polymul(s1, s2):    if (s1 == '' or s2 == ''):        return;        #只能有+或-号连接各项，不能有括号，分数要先化成小数    s = s1.replace('-', '+-');    if (s[0] == '+'):        s = s[1:];    #各项    terms_1 = s.split('+');    s = s2.replace('-', '+-');    if (s[0] == '+'):        s = s[1:];    #各项    terms_2 = s.split('+');        len1 = len(terms_1);    len2 = len(terms_2);    resultStr = '';    for i in range(len1):        for j in range(len2):            resultStr += monomul(terms_1[i], terms_2[j])+'+';    lens = len(resultStr);    if (resultStr[lens-1] == '+'):        resultStr = resultStr[:lens-1];    return resultStr;def monomul(s1, s2):    a1 = monoDecomposite(s1);    a2 = monoDecomposite(s2);    coeff = eval('('+a1[0]+')'+'*'+'('+a2[0]+')');    return str(coeff)+a1[1]+a2[1];    #分解出单项式的系数和其余部分 def monoDecomposite(s):    if (s == ''):        return ['0', ''];    if (s[0].isalpha()):        return ['1', s];    lens = len(s);    if (s[0] == '-'):               if (s[1].isalpha()):            return ['-1', s[1:]];        else:            index = 1;            while (index <= lens-1 and (not s[index].isalpha())):                index+=1;            return [s[:index], s[index:]];    else:        index = 0;        while (index <= lens-1 and (not s[index].isalpha())):            index+=1;        return [s[:index], s[index:]];</span>

加上以前做的：

<span style="font-size:18px;">#### @usage   单项式相关概念# @author  mw# @date    2016年02月26日  星期五  10:00:14 # @param# @return#####单项式#可以有**， ^号，暂时只能处理代号为一个字母的式子，像x_1, x_n, ...这种还不能处理。def monomial(s):    #原始复本    s0 = s;        s = s.replace('**', '^');    s = s.replace('*', '');    if (s.find('+') != -1 or (s.find('-') != -1 and s.find('-')!=0)):        print(s0, '不是单项式。');        return [];            try:        #系数        sign = 1;        if s[0] == '-':            #负号            sign = -1;            s = s[1:];        coefficient = 1;        #字符串长度        length = len(s);        index = 0;        while (not s[index].isalpha()):            index+=1;            if index >= length:                index = length;                break;        if (index > 0):            coefficient = float(s[:index]);            if abs(int(coefficient)-coefficient) < 0.001:                coefficient = int(coefficient);                    s = s[index:];                    coefficient = sign * coefficient;        #系数为0的项，其实就是0        if (coefficient == 0):            return [];        #print(coefficient, s);        length = len(s);        array = [];        result = [];        if (length > 0):            index = 0;            index2 = 0;            name = '';            degree = 0;            while index < length:                        if s[index].isalpha():                    if (name != ''):                        array.append([name, degree]);                        name = '';                        degree = 0;                    name = s[index];                    degree = 1;                    index += 1;                else:                    index2 = index;                    tmp = '';                    while (not s[index2].isalpha()):                        index2+=1;                        if (index2 >= length):                            index2 = length;                            break;                    tmp = s[index:index2];                    tmp = tmp.replace('^', '');                    degree = float(tmp);                    if abs(int(degree)-degree) < 0.001:                        degree = int(degree);                    index = index2;            if (name != ''):                array.append([name, degree]);                name = '';                degree = 0;                            #print(array);            #所有字母，去除重复的            setA = set();            size = len(array);            #单项式的次数            totalDegree = 0;            for i in range(size):                setA.add(array[i][0]);                totalDegree += array[i][1];            listA = list(setA);            listA.sort();            size2 = len(listA);            result = [];            for i in range(size2):                #计算每个字母的次数(degree)                tmp = 0;                for j in range(size):                    if listA[i] == array[j][0]:                        tmp += array[j][1];                result.append([listA[i], tmp]);            print('单项式{0} 的系数是{1}， 次数是{2}，详细是{3}。'.format(\                s0, coefficient, totalDegree, result));        else:            totalDegree = 0;            if (coefficient != 0):                print('单项式{0} 的系数是{1}， 次数是{2}，'.format(\                    s0, coefficient, 0));            else:                print('这个数是0, 暂无规定。');        #返回单项式的次数        return [coefficient, totalDegree, result];    except:        print(s0, '有误，无法正确计算。');#### @usage   多项式相关概念# @author  mw# @date    2016年02月26日  星期五  10:30:37 # @param   如果有括号，需要先自行去除，# @return####def polynomial(s):    if (s == ''):        return;        #预留复本    s0 = s;    #只能有+或-号连接各项，不能有括号，分数要先化成小数    s = s.replace('-', '+-');    if (s[0] == '+'):        s = s[1:];    #各项    terms = s.split('+');        print('多项式{0} 具有以下的项： {1}\n其中各单项分别是：'.format(s0, terms));    try:        size = len(terms);        array = [];        for i in range(size):            #此处也可扩展单项的合法性检查。            if (terms[i] == ''):                pass;            else:                tmp = monomial(terms[i]);                #对于返回[]的项，剔除掉                if len(tmp)>0:                    array.append(tmp);        #print(array);        size2 = len(array);        for i in range(size2):            #判断系数是否是0            if array[i][0] == 0:                continue;            for j in range(i+1, size2):                if array[j][0] == 0:                    continue;                else:                    if (sameTerm(array[i], array[j])):                        #合并同类项                        array[i][0]+=array[j][0];                        array[j][0] = 0;        result = [];        for i in range(size2):            #判断系数是否是0            if array[i][0] == 0:                continue;            else:                #保留三位小数                array[i][0] = round(array[i][0], 6);                result.append(array[i]);        print('合并同类项后详细情况是：', result);        sResult = '';        size3 = len(result);        if (size3)>0:            for i in range(size3):                tmp1 = result[i][0];                if (tmp1 >= 0):                    if (tmp1 != 1):                        sResult += '+'+str(tmp1);                    else:                        sResult += '+';                if (tmp1 < 0):                    if (tmp1!=-1):                        sResult += str(tmp1);                    else:                        sResult += '-';                tmp2 = result[i][2];                length = len(tmp2);                if (length == 0 and abs(tmp1)==1):                    sResult += '1';                else:                    for j in range(length):                        if tmp2[j][1] != 1:                            sResult += tmp2[j][0]+str(tmp2[j][1]);                        else:                            sResult += tmp2[j][0];            if sResult[0] == '+':                sResult = sResult[1:];        else:            #所有项的系数刚好抵消，导致结果为0            sResult = '0';        print('合并同类项后是 => {0}\n\n'.format(sResult));    except:        print(s0, '有误，无法进行多项式操作。');    return;                #同类项判断def sameTerm(a, b):    #由于a, b具有以下格式[1, 1, [['v', 1]]] [系数, 次数, 详细元素]    if (a[1] == 0 and b[1] == 0):        return True;        if (a[1] != b[1]):        #次数不同        return False;    if (len(a[2]) != len(b[2])):        #元素个数不同        return False;    a1 = list(a[2]);    b1 = list(b[2]);    a1 = sorted(a1, key=lambda num:num[0]);    b1 = sorted(b1, key=lambda num:num[0]);    size = len(a1);    for i in range(size):        if a1[i][0] != b1[i][0] or a1[i][1] != b1[i][1]:            return False;    return True;#### @usage   代数式，可以对系数中含计算式的情况进行计算，得出简化后的多项式字符串# @author  mw# @date    2016年02月27日  星期六  09:23:44 # @param# @return#####代数式def algExpr(s):    s0 = s;    #判断字符串中左右括号是否匹配    if s.count('(') - s.count(')') != 0:        print(s, '左右括号数目不匹配，表达式有误。');        return '';    #去除空格    s = s.replace(' ', '');    #存放需要计算的表达式子串    sub = '';    length = len(s);    #新字符串    sNew = '';    #括号层次    bracket = 0;    result = [];    #需要计算的部分，是从每一个单项的开始处，一般只需要计算系数    need = 1;    #精度    precision = 6;        #遍历字符串s    i = 0;    while i < length:        if (s[i] == '('):            bracket+=1;            sub += s[i];        elif (s[i] == ')'):            bracket -=1;            sub += s[i];                        elif (s[i].isalpha()):            if sub != '':                if (sub[-1]=='*'):                    sub=sub[:-1];                sNew += str(round(eval(sub), precision))+ s[i];                sub = '';            else:                sNew += s[i];            #由于字母后面是次数，不需要计算            #need = 0;                    elif (s[i] == '+' or s[i] == '-'):            if (bracket == 0):                if sub != '':                    if (sub[-1]=='*'):                        sub=sub[:-1];                    sNew += str(round(eval(sub), precision))+ s[i];                    sub = '';                else:                    sNew += s[i];                #need = 1;            else:                sub += s[i];        else:            if (need == 1):                sub += s[i];            else:                sNew += s[i];        i += 1;    if sub != '':        if (sub[-1]=='*'):            sub=sub[:-1];        sNew += str(round(eval(sub), precision));        sub = '';    #print(sNew);    return sNew;</span>

这么多，反而越来越难以解答[人叫板老师]的题了，难道非要阿伟长出两只手来拿个草稿本慢慢算？

<span style="font-size:18px;">if __name__ == '__main__':    s1 = polymul('5x+2', 'x+1');    s2 = polymul('-3', 'x2+x');    s = algExpr(s1+'+'+s2);    print(polynomial(s));多项式5xx+5x+2x+2+-3x2+-3x 具有以下的项： ['5xx', '5x', '2x', '2', '', '-3x2', '', '-3x']其中各单项分别是：单项式5xx 的系数是5， 次数是2，详细是[['x', 2]]。单项式5x 的系数是5， 次数是1，详细是[['x', 1]]。单项式2x 的系数是2， 次数是1，详细是[['x', 1]]。单项式2 的系数是2， 次数是0，单项式-3x2 的系数是-3， 次数是2，详细是[['x', 2]]。单项式-3x 的系数是-3， 次数是1，详细是[['x', 1]]。合并同类项后详细情况是： [[2, 2, [['x', 2]]], [4, 1, [['x', 1]]], [2, 0, []]]合并同类项后是 => 2x2+4x+2=> x = -1</span>

x = -1时分母为0了，所以这个方程无解！

<span style="font-size:18px;">if __name__ == '__main__':    s1 = polymul('2x', '2x+5');    s2 = polymul('-2', '2x-5');    s3 = polymul('-2x+5', '2x+5');    s = algExpr(s1+'+'+s2+'+'+s3);    print(polynomial(s));>>> 多项式4xx+10x+-4x+10+-4xx+-10x+10x+25 具有以下的项： ['4xx', '10x', '', '-4x', '10', '', '-4xx', '', '-10x', '10x', '25']其中各单项分别是：单项式4xx 的系数是4， 次数是2，详细是[['x', 2]]。单项式10x 的系数是10， 次数是1，详细是[['x', 1]]。单项式-4x 的系数是-4， 次数是1，详细是[['x', 1]]。单项式10 的系数是10， 次数是0，单项式-4xx 的系数是-4， 次数是2，详细是[['x', 2]]。单项式-10x 的系数是-10， 次数是1，详细是[['x', 1]]。单项式10x 的系数是10， 次数是1，详细是[['x', 1]]。单项式25 的系数是25， 次数是0，合并同类项后详细情况是： [[6, 1, [['x', 1]]], [35, 0, []]]合并同类项后是 => 6x+35None>>> 2*(-35/6)/(2*(-35/6)-5)-2/(2*(-35/6)+5)1.0</span>

验算通过，这个解是x = -35/6

好吧，这些烦琐的分式计算，还是留给需要计算它们的小朋友吧。

小伟在这里总结一下工具的使用：

<span style="font-size:18px;">if __name__ == '__main__':    #可计算多项式的乘法，但不能有括号    s1 = polymul('x+y+z+u+v', 'x+y+z-u-v');    print(polynomial(s1));    #指数上有负号时会出错，这个可以解决，但是会要求更复杂的写法    s2 = '(5*2*3-8-6)a(-2)a2'    print(polynomial(algExpr(s2)));    #对于正指数会很方便    s3 = '(5*2*3-8-6)a2abcdef2g+s(2*3)d3-28.66gdf-3';    print(polynomial(algExpr(s3)));</span>

<span style="font-size:18px;">>>> 多项式1xx+1xy+1xz+-1xu+-1xv+1yx+1yy+1yz+-1yu+-1yv+1zx+1zy+1zz+-1zu+-1zv+1ux+1uy+1uz+-1uu+-1uv+1vx+1vy+1vz+-1vu+-1vv 具有以下的项： ['1xx', '1xy', '1xz', '', '-1xu', '', '-1xv', '1yx', '1yy', '1yz', '', '-1yu', '', '-1yv', '1zx', '1zy', '1zz', '', '-1zu', '', '-1zv', '1ux', '1uy', '1uz', '', '-1uu', '', '-1uv', '1vx', '1vy', '1vz', '', '-1vu', '', '-1vv']其中各单项分别是：单项式1xx 的系数是1， 次数是2，详细是[['x', 2]]。单项式1xy 的系数是1， 次数是2，详细是[['x', 1], ['y', 1]]。单项式1xz 的系数是1， 次数是2，详细是[['x', 1], ['z', 1]]。单项式-1xu 的系数是-1， 次数是2，详细是[['u', 1], ['x', 1]]。单项式-1xv 的系数是-1， 次数是2，详细是[['v', 1], ['x', 1]]。单项式1yx 的系数是1， 次数是2，详细是[['x', 1], ['y', 1]]。单项式1yy 的系数是1， 次数是2，详细是[['y', 2]]。单项式1yz 的系数是1， 次数是2，详细是[['y', 1], ['z', 1]]。单项式-1yu 的系数是-1， 次数是2，详细是[['u', 1], ['y', 1]]。单项式-1yv 的系数是-1， 次数是2，详细是[['v', 1], ['y', 1]]。单项式1zx 的系数是1， 次数是2，详细是[['x', 1], ['z', 1]]。单项式1zy 的系数是1， 次数是2，详细是[['y', 1], ['z', 1]]。单项式1zz 的系数是1， 次数是2，详细是[['z', 2]]。单项式-1zu 的系数是-1， 次数是2，详细是[['u', 1], ['z', 1]]。单项式-1zv 的系数是-1， 次数是2，详细是[['v', 1], ['z', 1]]。单项式1ux 的系数是1， 次数是2，详细是[['u', 1], ['x', 1]]。单项式1uy 的系数是1， 次数是2，详细是[['u', 1], ['y', 1]]。单项式1uz 的系数是1， 次数是2，详细是[['u', 1], ['z', 1]]。单项式-1uu 的系数是-1， 次数是2，详细是[['u', 2]]。单项式-1uv 的系数是-1， 次数是2，详细是[['u', 1], ['v', 1]]。单项式1vx 的系数是1， 次数是2，详细是[['v', 1], ['x', 1]]。单项式1vy 的系数是1， 次数是2，详细是[['v', 1], ['y', 1]]。单项式1vz 的系数是1， 次数是2，详细是[['v', 1], ['z', 1]]。单项式-1vu 的系数是-1， 次数是2，详细是[['u', 1], ['v', 1]]。单项式-1vv 的系数是-1， 次数是2，详细是[['v', 2]]。合并同类项后详细情况是： [[1, 2, [['x', 2]]], [2, 2, [['x', 1], ['y', 1]]], [2, 2, [['x', 1], ['z', 1]]], [1, 2, [['y', 2]]], [2, 2, [['y', 1], ['z', 1]]], [1, 2, [['z', 2]]], [-1, 2, [['u', 2]]], [-2, 2, [['u', 1], ['v', 1]]], [-1, 2, [['v', 2]]]]合并同类项后是 => x2+2xy+2xz+y2+2yz+z2-u2-2uv-v2None多项式16a-2a2 具有以下的项： ['16a', '-2a2']其中各单项分别是：单项式16a 的系数是16， 次数是1，详细是[['a', 1]]。单项式-2a2 的系数是-2， 次数是2，详细是[['a', 2]]。合并同类项后详细情况是： [[16, 1, [['a', 1]]], [-2, 2, [['a', 2]]]]合并同类项后是 => 16a-2a2None多项式16a2abcdef2g+s6d3-28.66gdf-3 具有以下的项： ['16a2abcdef2g', 's6d3', '-28.66gdf', '-3']其中各单项分别是：单项式16a2abcdef2g 的系数是16， 次数是10，详细是[['a', 3], ['b', 1], ['c', 1], ['d', 1], ['e', 1], ['f', 2], ['g', 1]]。单项式s6d3 的系数是1， 次数是9，详细是[['d', 3], ['s', 6]]。单项式-28.66gdf 的系数是-28.66， 次数是3，详细是[['d', 1], ['f', 1], ['g', 1]]。单项式-3 的系数是-3， 次数是0，合并同类项后详细情况是： [[16, 10, [['a', 3], ['b', 1], ['c', 1], ['d', 1], ['e', 1], ['f', 2], ['g', 1]]], [1, 9, [['d', 3], ['s', 6]]], [-28.66, 3, [['d', 1], ['f', 1], ['g', 1]]], [-3, 0, []]]合并同类项后是 => 16a3bcdef2g+d3s6-28.66dfg-3None>>> </span>

反正是烦琐透了。还不如用草稿本划同类项来得快呢。

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。