最大公约数

什么是最大公约数

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。

最小公倍数

两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。
与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，a，b的最大公约数记为（a，b）。
关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：
(a,b)[a,b]=ab(a,b均为整数)

辗转相除法求最大公约数

由参考资料可知，辗转相除法是计算机实现求解最大公约数最为简便的方法。

辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。

原理

设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k…….r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。
第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc
第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互质【否则，可设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。
证毕。
以上步骤的操作是建立在刚开始时r!=0的基础之上的。即m与n亦互质。

算法描述

用辗转相除法确定两个正整数 a 和 b(a≥b) 的最大公因数gcd(a,b)：
当a mod b=0 时gcd(a,b)=b,否则
gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
递归或循环运算得出结果

算法实现

// 使用C++// 递归版int gcd(int a, int b) { // 可忽略a和b的大小    if (b == 0)        return a;    else         return gcd(b, a%b);}// 循环版int gcd(int a, int b) {        while (b != 0) {            int tmp = a;            a = b;            b = tmp%b;        }        return a;}

// 求最小公倍数，由求最小公倍数的公式：(a,b)[a,b]=ab(a,b均为整数)int lcm (int a, b) {    return a*b/gcd(a, b);}

参考资料

1最大公约数
2辗转相除法