BZoj 2705: [SDOI2012]Longge的问题【数论】

 Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

Hint

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

 

题解：

最直观的想法肯定是要枚举n 的所有因子，然后想办法统计出来所有的和 n 的最大公约数正好是这个因子的数的个数，之后乘上这个因子，最后累加，就是需要的答案了，但是问题来了...

问题就在于：如何统计每个因子（设为x）对应的满足 gcd(n,m)= x 的m 的个数，下面是数学分析：

需要求出满足 gcd(n,m)= x 的m 的个数，不难发现，n 和m 的最大公约数为x，那么就可以同时除去x

相当于求满足 gcd(n/x,m/x)=1  的数的个数，额...这不就是欧拉函数吗........

然后就是相乘再累加了.....

明白到这里之后，就能很简单的编程实现了....

另外，枚举n 的因子，只需要枚举到根号n，但是要特别注意 n 是完全平方数的时候，切忌重复统计！

ps: 数学不好的搞ACM真的伤不起啊，一见到数学题就卡壳了，搞了半天感觉搞懂了，但是下一次见到的时候让然还是不会做..............

#include<stdio.h>#include<math.h>typedef long long ll;ll euler(ll x)//欧拉函数{ll ans=x,tp=sqrt(x*1.0);for(ll i=2;i<=tp;++i){if(x%i==0){ans=ans-ans/i;while(x%i==0){x/=i;}}}if(x>1){ans=ans-ans/x;}return ans;}int main(){ll n;while(~scanf("%d",&n)){ll ans=0,tp=sqrt(n*1.0);for(ll i=1;i<=tp;++i){if(n%i==0){ans+=i*euler(n/i)+n/i*euler(i);}}if(tp*tp==n) //注意这个{ans-=tp*euler(tp);}printf("%lld\n",ans);}}