【Heaven Cow与God Bull】题解

题目

Description

__int64 ago,there’s a heaven cow called sjy…
A god bull named wzc fell in love with her…
As an OI & MOer,wzc gave sjy a quesiton…
给定一个整数n，求一个整数m，满足m<=n，并且m/phi(m)的值最大。
注：phi(m)代表m的欧拉函数，即不大于m且与m互质的数的个数。

Input

第一行是一个整数T，表示该测试点有T组数据。
接下来T行，每行一个整数n，意义如上所述。

Output

输出一共T行，每行一个整数m。
若对于某个n，有不止一个满足条件的m，则输出最小的m。

Sample Input

110

Sample Output

6

Data Constraint

对于10%的数据, n<=1000
对于30%的数据, n<=10^10
对于60%的数据, n<=10^2000
对于100%的数据，T<=100，n<=10^25000。

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分析

设pi为质数，m=p1^e1·p2^e2·p3^e3····。
我们首先来化简一下m/φ(m)，容易得出m/φ(m)=(p1-1)(p2-1)(p3-1)···/p1·p2·p3····。
易证当p2>p1时，(p1-1)/p1>(p2-1)/p2，如果m取前k个质数的乘积，答案一定更优。答案就是最大的p1·p2·p3····。
如果边做边求p1·p2·p3····显然是不行的，所以先预处理p1·p2·p3····。大概60000以内的质数就可以，有6057个。为了缩短时间，高精度我压了11位，有点小恶心，事实上速度还是挺快的。

#include <cmath>#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <algorithm>#include <queue>const long long maxlongint=2147483647;const long long mo=100000000000;using namespace std;long long b[6500][2500],zs[6500],t,n,m,a[2500];char s[100000];int times(long long x,long long y,long value){    long i,j,k,l;    for(i=1;i<=b[x][0];i++)    {        b[y][i]+=b[x][i]*value;        b[y][i+1]+=b[y][i]/mo;        b[y][i]%=mo;    }    b[y][0]=b[x][0];    if(b[y][b[y][0]+1]>0)        b[y][0]++;}int bj(long long a[2500],long long b[2500]){    if(b[0]>a[0]) return true;        if(b[0]<a[0]) return false;            else            {                for(long long i=b[0];i>=1;i--)                {                    if(b[i]>a[i]) return true;                        if(b[i]<a[i]) return false;                }            }    return false;}int main(){    scanf("%lld\n",&t);    long long i,j,k,l,x,y;    for(i=2;i<=60000;i++)    {        bool q=true;        for(j=2;j<=(long long)(sqrt(i));j++)        {            if(!(i%j)) q=false;        }        if(q)        {            zs[++zs[0]]=i;        }    }    b[0][0]=1;    b[0][1]=1;    for(i=1;i<=zs[0];i++)//预处理    {        times(i-1,i,zs[i]);    }    while(t--)    {        scanf("%s\n",s);        a[0]=0;        k=0;        int len=strlen(s);        l=1;        for(i=1;i<=len;i++)        {            k=k+(s[len-i]-48)*l;            l*=10;            if(l==mo)            {                a[++a[0]]=k;                l=1;                k=0;            }        }        if(k)            a[++a[0]]=k;        for(i=1;i<=zs[0];i++)//O(6057)求答案。如果还想快点，可以二分        {            if(bj(a,b[i]))            {                for(j=b[i-1][0];j>=1;j--)                {                    if(j!=b[i-1][0])                        printf("%011lld",b[i-1][j]);                            else                                printf("%lld",b[i-1][j]);                }                break;            }        }        printf("\n");    }}