vijos 1002 过河 (DP + 滚动数组 + 状态压缩)

描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
对于30%的数据，L <= 10000；
对于全部的数据，L <= 10^9。

格式 输入格式

输入的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例1 样例输入1[复制]

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出1[复制]

2

限制

1s

挺考验优化的DP题, 时间和空间都必须优化, 否则乖乖等着超时和超内存吧

• 空间的优化: 显然, 不能直接开出dp[10^9]的数组; 考虑到dp[i]只在[dp[i - t], dp[i - x]] 间规划; 所以可以用大小为t的滚动数组代替
• 时间的优化: 计算机1s内做的运算量大概是10^7; 所以对于本题10^9的数据规模, 朴素DP显然无法应付; 从题目特点, 我们知道, 石头在桥上分布非常稀疏, 因而, 当石子间距达到一定大时, DP将趋同, 这时可以直接跳到下一个石子的位置
• 一个小陷阱: 上述时间的优化在x == t时不成立; 因而需要做特判

import java.util.Arrays;import java.util.Scanner;public class Main {    static final int MAXN = 0x3f3f3f3f;    public static void main(String[] args) {        Scanner cin = new Scanner(System.in);        int l = cin.nextInt();        int x = cin.nextInt();        int t = cin.nextInt();        int m = cin.nextInt();        int[] stone = new int[m + 1];        for (int i = 0; i < m; ++i) {            stone[i] = cin.nextInt();        }        Arrays.sort(stone, 0, m - 1);        stone[m] = 0;        if (x != t) {            int[] dp = new int[t];            Arrays.fill(dp, MAXN);            dp[0] = 0;            int ans = MAXN, cnt = 0, last = MAXN;            for (int i = x, k = 0; i < l + t; ++i) {                int minLast = MAXN;                for (int j = t; j >= x; --j) {                    minLast = minLast <= dp[(i - j + t)%t] ? minLast : dp[(i - j + t)%t];                }                dp[i%t] = minLast + (stone[k] == i ? 1 : 0);                if (k < m && stone[k] <= i) { ++k; }                if (last == dp[i%t]) {                    ++cnt;                } else {                    last = dp[i%t];                    cnt = 1;                }                if (cnt > t && i < l) {                    if (k < m) { i = stone[k] - 1; }                    else { i = l; }                }                if (i >= l && ans > dp[i%t]) { ans = dp[i%t]; }            }            System.out.println(ans);        } else {            int ans = 0;            for (int i = 0; i < m; ++i) {                ans += stone[i] % x == 0 ? 1 : 0;            }            System.out.println(ans);        }    }}