Robotics学习笔记基础---刚体转动

Robotics学习笔记基础—刚体转动（1）

如图所示，xyz为参考坐标系（惯性系，记为A），xabyabzab为固连在刚体上的坐标系（即刚体的本体坐标系，记为B），本文所有的坐标系均为右手系，B相对于A的旋转矩阵用3x3的矩阵来描述，即：

Rab=[xabyabzab]

旋转矩阵的性质：
旋转矩阵有两个重要的性质，R∈ℝ3×3为一旋转矩阵，r1,r2,r3∈ℝ3，为R的列向量，列向量相互正交：

rTirj={0,ifi≠j1,ifi=j

R为正交矩阵，RTR=RRT=I，detR=rT1(r2×r3)=1。
所有满足上述性质的3×3矩阵的集合记为SO(3)，SO是special orthogonal的简写。
将ℝn×n中的旋转矩阵定义为：

SO(n)={R∈ℝn×n:RRT=I,detR=+1}

.
我们主要对n=3的情况感兴趣。
SO(3)⊂ℝ3×3是矩阵相乘操作下的群，对于一个集合G被称为群，如果定义在其元素之上的二值操作∘满足以下条件：
1、运算封闭：若g1,g2∈G，则g1∘g2∈G.
2、单位性：对于所有g∈G，存在一个单位元素e，使得g∘e=e∘g.
3、可逆性：对于任意g∈G存在唯一一个逆g−1∈G，使得g∘g−1=g−1∘g=e.
4、结合律：如果g1,g2,g3∈G，则(g1∘g2)∘g3=g1∘(g2∘g3)
对于SO(3)，注意到：
1、若R1,R2∈SO(3)，则有R1R2∈SO(3)，因为

R1R2(R1R2)T=R1R2RT2RT1=I

det(R1R2)=det(R1)det(R2)=+1

2、单位矩阵为其单位元素.
3、R的逆RT∈SO(3).
4、矩阵相乘满足群操作的结合律，即(R1R2)R3=R1(R2R3).
因此，SO(3)为一个群，以单位阵为单位元素，矩阵相乘为群操作子，将SO(3)作为ℝ3的旋转群。
任何一个绕固定坐标系旋转的刚体都有唯一一个R∈SO(3)与之对应，旋转群SO(3)为系统的配置空间，系统的轨迹为一曲线R(t)∈SO(3)，t∈[0,T]，对于一个系统，如果所有元素x∈Q均对应于一个有效的系统配置，而且系统的每一个配置可以用Q中的唯一元素表示，则称Q为系统的配置空间。
旋转矩阵R∈SO(3)也可以用于坐标变换，将一个点的坐标从一个坐标系变换到另外一个坐标系。如图1中的点q，令qb=[xb,yb,zb]为q在B下的坐标，相对于A的坐标可以通过下式计算：

qa=xabxb+yabyb+zabzb

即：
qa=Rabqb
换而言之，Rab可以看做是ℝ3到ℝ3的映射，将B中的点旋转至A。