快速线性筛法求素数

 

    说到求素数，其实在刚开始学C++的时候就已经见过诸如此类的问题，不过现在最常见的还是筛法求素数

  谈及筛法求素数，其大致思路可分为如下五步：

 

     (1).把2到n的自然数放入a[2]到a[n]中(所放入的数与下标号相同) ;

     (2).在数组元素中以下标为序，按顺序找到未曾找过的最小素数minp和它的位置p(即下标号);

     (3).从p+1开始，把凡是能被minp整除的各元素值从a数组中划去(筛掉)，也就是把该元素标记为0;

     (4).让p=p+1，重复执行第(2) (3)步骤，知道，minp>floor(sqrt(n))为止;

     (5).打印输出a数组中留下来的数，未被筛掉的各元素值;

 

  这种求素数的算法很容易被理解，其时间复杂度介于O(n)~O(n*logn)是一种比较流行的方法。但是同样的，这种算法也存在先天性的缺陷，我们简单分析：

 

  对于一个数30，可分解为30=2*15=3*10=5*6，显然，当循环,2,3,5,6,10,15时都会筛除一次30这个数，而

当n很大时，就会出现许多的冗余操作，这个算法可以进一步进行优化来使算法的效率提高，因此，一种名为

快速线性筛法的算法应运而生。这种算法的智慧之处在于——对于2~n的每一个数，它只筛去到目前为止它能

筛到而之后的其他数筛不到的几个合数，而把它能筛到，另有别的数也能筛到的数留个接下来的数去筛，这

样的话就能使得素数的筛选不重不漏——说起来容易做起来难，这样的算法应该如何实现呢？

 

  对于快速筛法求素数，其步骤也可分为如下几个阶段：

(1).开一个n+1大小的数组num[n]来存放每一个元素的筛留情况(即对于num[n]的每个数与下标号相同，对于任

      意num[n]有num[n]=0,num[n]=1两种情况，如果num[n]=0则是素数，反之num[n]=1时是合数);

(2).再开一个数组prime[n]来存放筛出的素数以便最后输出结果;

(3).对于一个数k,总是进行从n*prime[0]~n*prime[j](由小到大来乘)，直到if(n%prime[j]==0)成立时break掉

这是这个算法的精髓所在，所以弄清楚原因是十分必要的！！！

  对于一个数c=a*b(b为c的最小质因数），当通过该算法的循环循环至c*b时，易得此时c%b==0,如果此时继续循环至b后面的一个素数d，则有：c*d=a*b*d=(a*d)*b，因为d>b,所以a*d>c。当循环从c继续查找到a*d时我们发现当a*d再次与素数b想乘时，就又对c*d进行了一次操作，出现了冗余，所以在if(n%prime[j]==0)成立时要将该层循环break掉；

  举个例子，对于一个数9，9*2=18将18标记为合数，循环继续；9*3=27将27标记为合数，此时发现9%3=0，循环退出。如果将循环继续下去会出现筛除9*5=45的情况，而45=15*3，在15时会被在筛去一次，故不可行

(4)完成了算法中最重要的一步，最后只要将存放筛出的prime[ ]数组中的素数即可！

  这种算法的写法也十分简单，这里只给出一种与普通筛法求素数比较程序，如下：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<ctime>#include<cmath>#define inf 20000005using namespace std;int n;bool a[inf+1];long num[inf+1]={1,1},prime[inf+1]={0},number=0;     //number 记录素数个数                                                     void putongshaifa()                                  //普通筛法求素数 {clock_t begin,end;                                            begin=clock();for(int i=0;i<=n;++i)  a[i]=true;a[1]=false;for(int i=2;i<sqrt(n);++i)  if(a[i])    for(int j=2;j<=n/i;++j)      a[i*j]=false;end=clock();/*for(int i=2,t=0;i<=n;++i)  if(a[i])  {  cout<<i<<" ";  ++t;  if(t%10==0) cout<<endl;  }cout<<endl;*/printf("普通筛法-Time used:%d ms\n",end-begin); return;}void kuaisushaifa()                                 //快速筛法求素数 {clock_t begin,end;                                             begin=clock();for(int i=2;i<=n;++i) {if(!num[i])  prime[number++]=i;for(int j=0;j<number && i*prime[j]<=n;j++)          {              num[i*prime[j]]=1;                     //把所有合数标记为 1             if(!(i%prime[j]))                      // *为保证不重复筛选*                 break;          }      }end=clock();    /*for(int i=0;i<number;i++)    {          if(i%10==0) printf("\n");          printf("%3d",prime[i]);      }  */printf("快速筛法-Time used:%d ms\n",end-begin); return;}int main(){//freopen("prime.txt","w",stdout);scanf("%d",&n);int _test=10;while(_test--){putongshaifa();kuaisushaifa();cout<<endl;}    return 0;   }

 通过比较，两种算法的差异一目了然：

  由上述数据不难看出，快速线性筛法的效率基本比普通筛法求素数的效率高一倍，说明这的确是一种比较可

靠的关于求素数优化的算法~！