矩阵快速幂的学习

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1：思想

矩阵快速幂的思想就是跟数的快速幂一样，假如我们要求2^11，次方，我们可以把 11 写成 1+2+8 ，也就是2^0 + 2^1 + 2^3 。那么把一个O（n）的时间复杂度降到了log（n）

矩阵快速幂的思想和数的快速幂是一模一样的，就是要自己实现矩阵的乘法，然后可以套数的快速幂的模板。

2：难点

矩阵题目的难点在于构造矩阵，一般用于有能够推出递推式的题目，推出递推式之后，发现递推O（n）的复杂度时间比较大，那么我们可以构造一个矩阵，然后用矩阵快速幂降低到log（n）的时间复杂度

快速幂模板：

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1. #include <cstdio>  
2. #include <string>  
3. #include <cmath>  
4. #include <iostream>  
5. using namespace std;  
6. const long long M = 1000007;  
7. const long long N = 3;  
8. long long t,b,c,f1,f2;  
9. struct Node  //矩阵  
10. {  
11.     long long line,cal;  
12.     long long a[N+1][N+1];  
13.     Node(){  
14.         line=3,cal=3;  
15.         a[0][0] = b; a[0][1] = 1; a[0][2] = 0;  
16.         a[1][0] = t; a[1][1] = 0; a[1][2] = 0;  
17.         a[2][0] = c; a[2][1] = 0; a[2][2] = 1;  
18.     }  
19. };  
20.   
21. Node isit(Node x,long long c)  //矩阵初始化  
22. {  
23.     for(long long i=0;i<N;i++)  
24.         for(long long j=0;j<N;j++)  
25.             x.a[i][j]=c;  
26.     return x;  
27. }  
28.   
29. Node Matlab(Node x,Node s)  //矩阵乘法  
30. {  
31.     Node ans;  
32.     ans.line = x.line,ans.cal = s.cal;  
33.     ans=isit(ans,0);  
34.     for(long long i=0;i<x.line;i++)  
35.     {  
36.         for(long long j=0;j<x.cal;j++)  
37.         {  
38.             for(long long k=0;k<s.cal;k++)  
39.             {  
40.                 ans.a[i][j] += x.a[i][k]*s.a[k][j];  
41.                 ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+M)%M;  
42.             }  
43.         }  
44.     }  
45.     return ans;  
46. }  
47. long long Fast_Matrax(long long n)  //矩阵快速幂  
48. {  
49.     if(n==1)  
50.         return f1;  
51.     n-=2;  
52.     long long x=1,f=n,ok=1;  
53.     Node ans,tmp,ch;  
54.     ans.line = 1,ans.cal = 3;  
55.     ans.a[0][0] = f2, ans.a[0][1] = f1 ,ans.a[0][2] = 1;  
56.     while(n>0)  
57.     {  
58.         if(n%2)  
59.         {  
60.             ans=Matlab(ans,tmp);  
61.         }  
62.         tmp=Matlab(tmp,tmp);  
63.         n/=2;  
64.     }  
65.     return ans.a[0][0];  
66. }  
67. int main()  
68. {  
69.     long long n,T;  
70.     scanf("%lld",&T);  
71.     while(T--)  
72.     {  
73.         scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&f1,&f2,&t,&b,&c,&n);  
74.         printf("%lld\n",Fast_Matrax(n));  
75.     }  
76.     return 0;  
77. }