GDOI2012 AB棋（chess）解题报告

GDOI2012 AB棋（chess）解题报告
Description

AB棋是两个人玩的博弈游戏。它的棋盘是一排n个格子，从左到右标号0..n-1。初始时某些格子上面有一只棋子。

两个人轮流走，他们都有两种走法：

A. 把一只棋子往左走一步。即把i上的棋子走到i-1上（必须满足i>=1，i上有棋子且i-1上没棋子）

B. 把一只棋子跳过左面的棋子。即把i上的棋子跳过i-1到i-2上（必须满足i>=2，i和i-1上有棋子且i-2上没有棋子）

谁不能走谁就输了。

给定棋盘的初始状态，你要判断出，在两个人都用最佳策略的情况下，先手胜还是后手胜。

Input

输入文件包含多个棋盘状态，第一行只有一个整数代表棋盘状态的数量T。

下面T行，每行一个01串，代表一个棋盘状态。0代表空格，1代表有棋子。

01串的长度即为n。其方向与棋盘一致，即01串的左边为棋盘的左边。

Output

输出文件应包含T行。

每行输出对应棋盘状态的胜方。先手胜输出first，后手胜输出second。

Sample Input

8
0001
11111
01001
0101001
01001001001
0111
0001111
0111001111

Sample Output

first
second
second
first
second
second
first
first

Data Constraint

Hint

【数据范围】

有30%的数据，T<=20，n<=20

另外有30%的数据，T<=20，n<=10000，棋盘初始时没有紧挨着的两只棋子，即‘11’不是该棋盘对应01串的子串。

剩下的40%的数据，T<=20，n<=10000。

解题思路：
看了当时gdoi现场讲解的视频http://v.youku.com/v_show/id_XMzkwMjcxNTIw.html?from=y1.2-1-87.3.3-1.1-1-1-2-0 觉得方法好神奇，感谢出题人出了道好题，膜拜全场唯一AC的卢神。

做法和简单证明视频里有。分享我看了题解之后的一些关于题目模型转化的简单想法。

问题可以转化成：
给出一堆数，有两种操作：
1.把一个数减一。
2.把两个相同的数同时减一。
每个数最小只能减到0，无法操作者输。

3个相同的数对结果没有影响，把这三个数表示为(x,x,x)，一个人把(x,x,x)变成(x-1,x,x)或者(x-1,x-1,x)之后，另外一个人可以把这3个数变成(x-1,x-1,x-1)。
偶数对结果没有影响，因为一个操作者把一个(对)偶数变成一个(对)奇数之后，另外一个人可以把一个(对)奇数变成一个(对)偶数。
排除了这两种情况，现在剩下一个个单个奇数，或者一对对相同的奇数对。不妨设前者数量为a，后者数量为b，那么问题转化为：
有三种操作：
1.b=b-1
2.b=b-1,a=a+1
3.a=a-1
操作后a,b非负，终止必败态为a=0,b=0。把a,b表示为[奇/偶,奇/偶]，推理可得
1.[奇,偶]，[偶,奇]，[奇,奇]（以上三个为必胜态）可以转化为[偶,偶]（此为必败）。必胜态可以转为必败态
2.而[偶,偶]只能转化为[奇,偶]，[偶,奇]，[奇,奇]中的一个。必败态只能转为必胜态。

统计a,b的数量，判断(a&1)|(b&1)的值。
个人感觉sg可以出的很难，所以不得不总结一下之前见过的sg问题:简单nim，anti-sg，每次可以取d堆的取石子，树上割边问题。
每次可以取d堆的取石子，一堆石子每次只能取不多于d个石子，还有本题中3个相同的数对结果没有影响所用到的结论，可以说成：每次只能对1到d操作的游戏特征，意味着可以维护(d+1)操作且每人各操作一步。