排列组合

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切,是进一步学习的基础。

　　(一)两个基本原理是排列和组合的基础

　　(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法.

　　(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.

　　这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理;做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。

　　这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来。

　　(二)排列和排列数

　　(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

　　从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法。

　　(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列

　　当m=n时，为全排列Pnn=n(n-1)(n-1)…3·2·1=n!

　　(三)组合和组合数

　　(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

　　从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

　　(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数

　　这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的。

　　[反思] 排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。

　　简单举例：1、2、3挑两个组成一个数字和1、2、3挑两个数字是完全不一样的!1、2、3挑两个组成一个数字那是排列;1、2、3挑两个数字那是组合。例如我选1和2，排列里面12和21是两个数字!但是组合的话挑1和2就和挑2和1没有分别!!!