SDOI知识点大复习

马上就要考一轮了，也该复习一下模板了，把以前的题整理一下，再做一些经典题吧。

数据结构类问题

线段树、树状数组：

1、维护序列上的某些操作，难点主要在merge操作(区间加法)怎么写，当然也可以搬到树上和仙人掌上。

一般支持修改、查询操作。

例：bzoj1018、4034、3306、4094、3529

2、利用问题自身的性质，用一些奇怪的复杂度分析来解决一些问题。

这种问题一般是比较难的，在考场上只能依靠做过的题目来想。

例：

bzoj3672、3533：线段树维护凸包，只能维护在最后插入的操作，不能维护在中间修改的操作(树套树)。

每次询问的时候再暴力对每个节点建凸包，因为线段树每一层总共有n个点，一共log n层，加上暴力建凸包的复杂度，是O(n log^2 n)的。

bzoj4127：因为每个数只会由负变正一次，所以每个节点维护一下负数的最大值。

如果加上这个数会变正，那么暴力修改，否则直接打标记做。

bzoj3165：对x轴建一棵线段树，然后记一个数组记录边界情况。

修改的时候，每个节点可能被分成多个部分，新加入的线段如果完全覆盖，那么就把标记改成这条线段。

否则，判断两条直线的交点，位于左儿子还是右儿子，向左或者向右更新儿子节点。

修改的复杂度是O(nlog^2n)的，比较难想的算法。

bzoj3747、2743：经典做法，如果要求区间内重复的数只算一次，一般都是预处理出pre数组来做。

bzoj3514：同上题，联通块个数=总点数-有贡献的边数。

3、枚举+线段树/树状数组快速统计，花式计数问题，通常算作乱搞题。

例：

bzoj2441：自己想了个麻烦做法，感觉自己考试的时候的想法都好奇怪。

bzoj1818：现在想想还挺恐怖，只有第一秒会有白变黑，同行同列形成成若干条线段，枚举横向的线段，每碰到纵向线段的下端点对应的位置就+1，碰到上端点就-1，每遇到一个横向的线段统计两个端点之间位置的和，树状数组维护。

4、线段树/主席树优化图论建图

从一个点向一个区间中的每个点连边，边数级别可能很大，这时候用线段树来做，每个点只需要向log n个线段树上的节点连边，总边数降低，应用于最短路和网络流？

例：bzoj4276、3218

5、线段树按时间分治(好像是这么叫吧)

这类问题通常有插入和删除两种操作，因为删除操作比较难处理，所以离线记录一下每个点出现的时刻，对应插到线段树的节点中，然后从根节点dfs一遍，每个叶子节点对应着一个时刻。

例：bzoj4311、4184

6、优化dp

一般是查询区间最大值，如果是前缀或后缀最大值的话，树状数组也可以。

例：bzoj3594、1537、3790

平衡树、set：

1、维护序列操作

一般以数组下标为关键字建平衡树，支持插入、删除操作，难点同样在于标记的打法以及如何合并两个节点的信息。

例：bzoj1862、1552、2329、1861、1500

2、link-cut-tree

lct太让人头疼了，考试应该很少考了吧。

例：bzoj2594、3514

3、set

set是平衡树的简化版本，只支持插入一个数，查询前驱、后继、最大、最小，以及删除一个数，自带去重。

例：bzoj2342、1492、2300

主席树：

1、二维数据结构，查询区间内一个权值在[L,R]之间的数的个数(或者其它)，配合树状数组，支持修改操作

例：bzoj3295、2141、3439

堆、单调队列、单调栈：

1、优化dp

例：bzoj1758、3675

2、贪心

例：bzoj2802

3、统计问题

例：bzoj3238、2096、3316

并查集：

1、维护图的连通性

例：bzoj1821、1202

2、快速查找下一个位置

例：bzoj3910、2054、1098

分块：

例：bzoj3343、4241、4028

离线算法：

整体二分、cdq分治、莫队算法

讲道理，这三个算法没有什么太大的用处吧，还是比较奇怪的离线算法比较多。

图论

最短路：

1、最短路裸题

通常使用spfa和dijkstra算法，后者比较稳定，前者适用于更多的情况。

还有一种floyd算法，通常用作倍增一类的题目。

例：bzoj1003、1641、2709、1266、1295、2100、2019

2、分层图最短路

把图分成若干层，每一层之间的连边是类似的，两层之间连一些特殊的边，可以类比二维dp的转移。

写代码的时候不要直接把两层之间的边建出来，这样会快一些。

例：bzoj2763、2834、3245

3、最短路建模：

差分约束：给定一系列ai>=aj+d或ai<=aj+d的不等式，让你最小化或最大化一个数。

因为这类问题符合最短路或最长路的约束条件，所以可以用最短路解决。

先根据最后要求的答案判断应该跑最长路还是最短路，再建图。

例：bzoj1731、3373、3436

其它比较灵活的建模

例：bzoj4152、2118、1922

生成树问题：

最小生成树，好吧，只做过模板题

生成树定理，好吧，只做过模板题

强连通分量、拓扑排序：

貌似这都是NOIP内容吧，要是考的话一定是神题。

二分图匹配：

掌握几个二分图的基本性质：

二分图的最小点覆盖=最大匹配

二分图的最小边覆盖=二分图总点数-最大匹配

二分图的最大独立集=二分图总点数-最小点覆盖

剩下的网络流其实也可以解决。

网络流：

最大流

最大流通常是用作二分答案后的判断方式，一般很少单独考了。

例：bzoj3130、1458、1305、2929、1711、1738、1570、3504

最小割

最常见的模型就是最大权闭合子图了。

例：bzoj3438、1342、2400、2127、2039、2561

费用流

在满足最大流的前提下，满足最小/大费用，建模时，最大流可以体现一个条件。

例：bzoj3308、2597、1283、1449

上下界网络流

主要是建图来算比较麻烦，记住怎么算就好。

最大流就是在T到S加一条容量上界为inf，下界为x的边，其中x是二分的答案，每次判断可行流。

最小流就是在S到T加一条容量上界为x，下界为0的边，其中x是二分的答案，每次判断可行流。

或者

最大流就是在T到S加一条容量上界为inf，下界为0的边，求从SS到TT的最大流，然后再求一遍S到T的最大流，答案为两次的和。

最小流就是先正常求一遍SS到TT的最大流，然后加上T到S上界为inf，下界为0的边，求SS到TT的最大流，答案为新加的边流过的流量。

例：bzoj2055、2502、3876、4200