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数学分析笔记-菲赫金哥尔茨-第一卷-极限论

1.整序变量及其极限

22.变量、整序变量。

• 整序变量的定义（序列，估计数列，级数…也行）。
• 整序变量的给定（给定通项公式，或者给定某种规则使得整个序列可以逐一算出）

23.整序变量的极限。

对于每一个正数ϵ，不论它怎样小，恒有序号N，使在n>N时，一切xn的值满足不等式 |xn−a|<ϵ，则常数a称为整序变量x=xn的极限。

24.无穷小量。极限为零的整序变量xn称为无穷小量，或简称无穷小。

• 事实上，无穷小数这样一个变量，它仅在自己变化过程中，可以变为小于（绝对值小于）任意选取的数ϵ。
• 整序变量xn以常数a为极限的必要而且充分的条件是：他们的差an=xn−a是无穷小。
• 若常数a与整序变量xn的差是无穷小量，则a称为整序变量xn的极限。

25.例题。

• 通过例1），2），和3）看出：变量的值是否均在极限值的一方；变量是否每一步都向其极限接近，变量是否能达到极限，即是否具有等于极限的数值；这些都不重要。重要的仅仅是定义当中说的：变量在项数充分远时，与极限之差是要任意小的。

• 如果只是要证明极限的存在，则这种场合我们总不关心于Nϵ的最下可能的数值。只需保证给出“极限定义”的不等式成立即可。至于从哪一项开始，位置远些或近些，可以不去管它。

• 具有有限和的级数就是收敛的；否则，就是发散的。（这里的收敛于发散是关于“级数的定义”，本初关于收敛于发散的定义和哈工大工科数学分析中的定义不一致）。

25.关于有极限的整序变量的一些定理。

1°. 若整序变量xn趋于极限a，又a>p(a< q)，则一切变量的数值，从某项开始，亦将>p(< q).

2°. 若整序变量xn趋于极限a > 0(< 0)，则变量本身从某项开始亦必有xn>0 ( < 0)。

3°.若整序变量xn趋于异于零的极限a，则必有充分远的xn的值，其绝对值得超过某正数r: |xn|>r>0 (n>N).

4°.另一方面，若整序变量xn有极限a，则xn 必定是有界的，意即，它的一切值在绝对值上不超过某一有限的界：|xn|≤M (M=常数；n=1,2, …).

5°. 整序变量xn不能同时趋于两个相异的极限。

附注 I. xn 为有界变量的定义也（另一种定义通过绝对值）可以用不等式 k≤xn≤g (n=1,2,…)来表示，式中k及g为两个有限的数。

附注 II. 命题4°不能逆述。

27. 无穷大量。

无穷大量，在某种意义上是与无穷销量相反的。
若整序变量xn，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于与现制定的任意大数E>0，|xn|>E （当n>NE时），xn便称为无穷大。

如同在无穷小的情形下，这里亦需要着重指出，无穷大量的任一个别数值都不能当做“大量”看待。我们这里所讨论的是这样的变量，它仅在本身改变的过程中可以大于任意选取的数E。

若整序变量xn成为无穷大，并且（至少在充分大的n时）保持着一定的符号（+或-），这时，按照符号的正或负，我们说xn有极限+∞或−∞，并写成：

limxn=+∞,xn→+∞

或

limxn=−∞,xn→−∞

若整序变量xn是无穷大，则它的倒数αn=1xn将成无穷小；若整序变量αv（不等于零）是无穷小，则其倒数xn=1αn将成无穷大。

2. 极限的定理·若干容易求得的极限

28. 对等式及不等式取极限

当我们用等号或不等号联接两个整序变量xn及yn时，我们所知的总是他们的对应数值，及具有同一序号的数值。

1°. 若两个整序变量xn，yn在它们的一切变化过程中总是相等：xn=yn，并且各区域有限极限：limxn=a，limyn=b， 则这些极限必相等：a=b。

2°. 若两个整序变量xn，yn恒满足不等式xn≥yn，并且各趋于有限极限：limxn=a，limyn=b，则必a≥b。

这定理使我们得以对不等式（连同着等号的）取极限：由xn≥yn得结论：limxn≥limyn。当然，各处的≥号都可以换成≤号。

需要注意的是，由严格的不等式xn>yn，一般来说，不能推得严格的不等式limxn>limyn，而仅能推得：limxn≥limyn。

3°. 若整序变量xn，yn，zn恒满足不等式 xn≤yn≤zn，并且xn及zn趋向同一极限a:limxn=limzn=a，则yn亦必以a为极限：limyn=a。

由这定理，可以推得：若对于一切n，a≤yn≤zn，且已知zn→a 则亦必有 yn→a。

29. 关于无穷小的引理

引理1. 任何有限个无穷小的和亦是无穷小。

引理2. 有界变量xn与无穷小αn的乘积仍是无穷小。

30. 变量的算术运算

1°. 若整序变量xn，yn趋于有限极限：limxn=a，limyn=b，则它们的和（差）仍趋于有限极限，并且lim(xn±yn)=a±b。

2°. 若整序变量xn，yn趋于有限极限：limxn=a，limyn=b，则它们的积仍趋于有限极限，并且lim(xnyn)=ab。

3°. 若整序变量xn，yn趋于有限极限：limxn=a，limyn=b，并且b异于0，则它们的比仍趋于有限极限，并且limxnyn=ab。

31. 不定式

首先我们来看商xnyn

1°. 设两个变量xn，yn同时趋于零，在不知道这些整序变量本身是，我们不能作出任何一般的论断。

2°. 在同时xn→±∞及yn→±∞的情形，亦有类似的情况。

转而考察积xnyn

3°. 若xn趋于零，同时yn趋于±∞，在研究积xnyn的性态时候，如果不知道这些整序变量本身是，我们不能作出任何一般的论断。

最后，考察代数和xn+yn

4°. 这里讲当xn及yn趋于异号的无穷大时，若果不知道这些整序变量本身是，则不可能确定xn+yn的极限。

不可能解答的四种情形：00,∞∞,0⋅∞,∞−∞。

32. 极限求法的例题。

在例9)中，以及以后的例题中，经常用到的一个公式。 假设a>1，用a=1+λ，(λ>0)来表示a，我们有

an=(1+λ)n=(n0)+(n1)λ+(n2)λ2+...+(nn−1)λn−1+(nn)λn>(n2)λ2=n(n−1)2λ2

33. 斯托尔茨定理及其应用。

为了要确定∞∞型不定式xnyn的极限，斯托尔茨定理经常是有用的。设整序变量yn→+∞, 并且——至少从某一项开始——在n增大时yn亦增大：yn+1>yn，则

limxnyn=limxn−xn−1yn−yn−1

只需等式右边的极限为已知或存在(有限或 ±∞)。

3. 单调整序变量

34. 单调整序变量的极限

若整序变量xn有

x1<x2<...<xn<xn+1<...

就是说，若n′>n，必有xn′>xn，这时我们把xn称为是 增大的。

若

x1≤x2≤...≤xn≤xn+1≤...

就是说，若n′>n，必有xn′≥xn，这时我们把xn称为是 不减小的。.若对于增的这一术语，赋予更广泛的意义，则在上述的后一种情形亦可以称为增的变量.

仿此，可建立减小的一一狭义的或广义的一一变量的概念（笔记中不在赘述）。

一切这种类型的，向单一方向改变的变量总称为单调变量。

定理： *设已给单调增大的整序变量xn，若它上有界:

xn≤M(M=constant;n=1,2,...)

则必有一有限的极限，否则，它趋向+∞。 完全同样地，单调减小的整序变量xn恒有极限.若它下有界:

xn≥M(M=constant;n=1,2,...)

则它的极限是有限的，否则它的极限为−∞.*

35. 例题

3） 计算机计算倒数方法…

4） 求不出来an与bn0的极限，但是知道两个极限相等。可以用椭圆积分求。