有向图强连通分量 Tarjan算法【java实现】

注：本文章上部分内容转载自http://www.cppblog.com/sosi/archive/2010/09/26/127797.html；一方面是网上有很多关于tarjan算法的介绍，我觉得都没有这个他的文章介绍的简明易懂或者没有具体的实现。另一方面，自己也顺便用java实现了一下，所以发表出来和大家分享分享!

[有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

 

定义DFN(u)D记录搜索到该u的时间，也就是第几个搜索u的。Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

算法伪代码如下

tarjan(u)
{

    DFN[u]=Low[u]=++Index     // 为节点u设定次序编号和Low初值

    Stack.push(u)                     // 将节点u压入栈中

    for each (u, v) in E               // 枚举每一条边

          if (v is not visted)          // 如果节点v未被访问过

                  tarjan(v)              // 继续向下找

                  Low[u] = min(Low[u], Low[v])

            else if (v in S)            // 如果节点v还在栈内

            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

    if (DFN[u] == Low[u])        // 如果节点u是强连通分量的根

       repeat

           v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

           print v

      until (u== v)

}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

算法java实现如下：

Tarjan类：

import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.List;import java.util.Stack;public class Tarjan {private int numOfNode;private List< ArrayList<Integer> > graph;//图private List< ArrayList<Integer> > result;//保存极大强连通图private boolean[] inStack;//节点是否在栈内，因为在stack中寻找一个节点不方便。这种方式查找快private Stack<Integer> stack;private int[] dfn;private int[] low;private int time;//public Tarjan(List< ArrayList<Integer> > graph,int numOfNode){this.graph = graph;this.numOfNode = numOfNode;this.inStack = new boolean[numOfNode];this.stack = new Stack<Integer>();dfn = new int[numOfNode];low = new int[numOfNode];Arrays.fill(dfn, -1);//将dfn所有元素都置为-1，其中dfn[i]=-1代表i还有没被访问过。Arrays.fill(low, -1);result = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();}public List< ArrayList<Integer> > run(){for(int i=0;i<numOfNode;i++){if(dfn[i]==-1){tarjan(i);}}return result;}public void tarjan(int current){dfn[current]=low[current]=time++;inStack[current]=true;stack.push(current);for(int i=0;i<graph.get(current).size();i++){int next = graph.get(current).get(i);if(dfn[next]==-1){//-1代表没有被访问tarjan(next);low[current]=Math.min(low[current], low[next]);}else if(inStack[next]){low[current]=Math.min(low[current], dfn[next]);}}if(low[current]==dfn[current]){ArrayList<Integer> temp =new ArrayList<Integer>();int j = -1;while(current!=j){j = stack.pop();inStack[j]=false;temp.add(j);}result.add(temp);}}}

测试类：

import java.util.ArrayList;import java.util.List;import java.util.Stack;public class Main {public static void main(String[] args) {                //创建图int numOfNode = 6;List< ArrayList<Integer> > graph = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();for(int i=0;i<numOfNode;i++){graph.add(new ArrayList<Integer>());}graph.get(0).add(1);graph.get(0).add(2);graph.get(1).add(3);graph.get(2).add(3);graph.get(2).add(4);graph.get(3).add(0);graph.get(3).add(5);graph.get(4).add(5);//调用Tarjan算法求极大连通子图Tarjan t = new Tarjan(graph, numOfNode);List< ArrayList<Integer> > result = t.run();                //打印结果for(int i=0;i<result.size();i++){for(int j=0;j<result.get(i).size();j++){System.out.print(result.get(i).get(j)+" ");}System.out.println();}}}