直方图均衡化的一个关键引理证明

上周六牛哥来组织讲课，讲到了一个有趣的引理：（如图所示）

条件可能需要加强，注意到累计分布函数是不减的，现加强为“累计分布函数是严格单调的（这在图像处理直方图均衡中很常见）”，另一方面由于随机变量r是连续性随机变量，容易证明分布函数为连续函数。
由已知Fr(x)=P{r<x}=∫x−∞Pr(w)dw,s=Fr(x),此时我们考虑s的分布函数 T(t)，注意到由于s是x的累计分布函数(实际上就是概率)，所以取值范围为[0,1],加强为严格单调递增后,F恒有反函数F−1

T(t)=P{s≤t}=P{Fr(x)≤t}=P{x≤F−1r(t)},

于是有在[0,1]上有

T(t)=P{x≤F−1r(t)}=F（F−1(t)）=t,

在R/[0,1]的情况显然为0辣~~于是乎证毕，即T~U(0,1)。