动态规划之矩阵连乘

矩阵连乘问题—–动态规划

• 算法思想:
• 给定n个矩阵{A1,A2,……..An},相连的两个矩阵满足矩阵连成的的条件,计算矩阵连乘乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘需要的数乘的次数最少.
• 找出最优解的性质，刻画其特征结构
  对于矩阵连乘问题,最优解就是找到一种计算顺序,使得计算次数最少.
  设m[i][j]为从第i个矩阵到第j个矩阵相乘的最优解(记为A[i:j). 假设这个最优解是从第k个矩阵断开i<=k<=j,那么A[i,k]和A[k+1,j]也是相应矩阵连乘的最优解。
• 建立递归关系
• 设计算A[i:j],1<=i<=j<=n;所需要的最少数乘次数m[i][j],则整个问题的最优解就是m[i][n];
• 当i==j时,即m[i][i]代表一个矩阵,不会和其它矩阵相乘,所以乘的次数为0次,所以m[i][i],即m矩阵的对角线值都为0;
• 当i < j时,m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1,j]+pi-1*pk*pj} ; (相当于把i~j这j-i个矩阵分成两段，看哪种分法的次数最少)，
  
  在这里,我们用s[i][j]来表示第i个矩阵到到第j个矩阵连乘在哪个矩阵后面断开能得到最优解。
  注意:上面的的算法分析没有用到数组的0号下标，下面的程序用到了0号下标.即(m[0][1])代表的是第一个矩阵和第二个矩阵相乘.
  看代码:

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>int matrix_chain(int *p,int n,int **m,int **s){    int i,j,r,k;    for(i=0;i<n;i++){        m[i][i]=0;    }    //r为连成矩阵的个数.    for(r=2;r<=n;r++){        //i表示r个矩阵连乘的第一个        for(i=0;i<=n-r;i++){              j=i+r-1;            //m[i][j]=65535;            //在第一个与最后一个之间寻找最合适的断开点.            m[i][j]=m[i+1][j]+p[i]*p[i+1]*p[j];            s[i][j]=i;            for(k=i+1;k<=j-1;k++){                int tmp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1];                if(tmp < m[i][j]){                    m[i][j]=tmp;                    s[i][j]=k;                }            }        }    }}print_chain(int i, int j, char **a,int **s){    //递归的方式来把最小乘数的表达式输出    if (i == j)    {        printf("%s",a[i]);    }    else    {        printf("(");        print_chain(i,s[i][j],a,s);        print_chain(s[i][j]+1,j,a,s);        printf(")");    }}int main(int argc,char *argv[]){    int *p,**min_part,**min_point;    char **a;    int n=6,i,j;    int ret;     p=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));    a=(char **)malloc(n*sizeof(char *));    min_part=(int **)malloc(n*sizeof(int *));    min_point=(int **)malloc(n*sizeof(int *));    for( i=0;i<n;i++){        min_part[i]=(int *)malloc(n*sizeof(int));        min_point[i]=(int *)malloc(n*sizeof(int));        a[i]=(char *)malloc(n*sizeof(char));    }    p[0]=30;    p[1]=35;    p[2]=15;    p[3]=5;    p[4]=10;    p[5]=20;    p[6]=25;    a[0]="A1";    a[1]="A2";    a[2]="A3";    a[3]="A4";    a[4]="A5";    a[5]="A6";    ret=matrix_chain(p,n,min_part,min_point);    printf("Minest times: %d\n",ret);    print_chain(0,n-1,a,min_point);    printf("\n");    printf("打印min_point\n");    for(i=0;i<6;i++){        for(j=0;j<6;j++){            printf("%d ",min_point[i][j]);        }            printf("\n");    }    printf("打印min_part\n");    for(i=0;i<6;i++){        for(j=0;j<6;j++){            printf("%d    ",min_part[i][j]);        }            printf("\n");    }    free(p);    free(min_part);    free(min_point);    free(a);    return 0;}