【BZOJ1045】[HAOI2008] 糖果传递【绝对值不等式】【中位数】【数形结合】

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大白上一开始的题...

一开始只会O(n^2)做法，后来发现是大白上原题，发现原来是个数形结合。

设xi表示第i个人给了第i-1个人的糖果数，x1表示第1个人给了第n个人的糖果数。

设目标糖果数为M（是已知的，为平均值）。

设一开始每个人的糖果数为numi。

那么有：

对于第1个人，num1 - x1 + x2 = M → x2 = M - num1 + x1 = x1 - C1（规定C1 = num1 - M)

对于第2个人，num2 - x2 + x3 = M → x3 = M - num2 + x2 = M - num2 + M - num1 + x1 = 2M - num1 - num2 + x1 = x1 - C2（规定C2 = num1 + num2 - 2M）

以下同理。

注意对第n个人的方程是多余的（因为可以由其他的n - 1个方程得到）。

我们的目标是希望xi的绝对值之和尽量小，那么即|x1| + |x1 - C1| + |x1 - C2| + ... + |x1 - Cn-1|尽量小，由绝对值不等式，我们可以得到

当x1为(0, -C1, -C2, ..., -Cn-1)的中位数时，答案最小。

实际计算时，可以递推计算-Ci。

完啦。

/* Footprints In The Blood Soaked Snow */#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn = 1000005;int n, num[maxn];LL C[maxn], M;inline int iread() {int f = 1, x = 0; char ch = getchar();for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) f = ch == '-' ? -1 : 1;for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';return f * x;}inline LL llabs(LL x) {return x > 0 ? x : -x;}int main() {n = iread();for(int i = 1; i <= n; i++) num[i] = iread(), M += num[i];M /= n;C[0] = 0;for(int i = 1; i < n; i++) C[i] = C[i - 1] + num[i] - M;sort(C, C + n);LL ans = 0, mid = C[n >> 1];for(int i = 0; i < n; i++) ans += llabs(mid - C[i]);printf("%lld\n", ans);return 0;}