UVa 11401 - Triangle Countin

【题意】给了n根木棍，木棍的长度是1-n，问有多少种方式可以组成合法的三角形，n的上限可以到1000000。

【解题思路】当然，这题是数学题，当然要想办法找规律了。我自己推了很久，都没发现，自己太弱啦，只能看网上的解法了。

【他人的思路】

             组合数学，计数原理。本题可以正向求解也可以反向求补集，这里采用正向求解。

            1.首先写出前几组数据，找规律：{ 里面的括号是子情况 }

            （4，3，（2））

            （5，4，（3，2））

            （6，5，（4，3，2））（6，4，（3））

            （7，6，（5，4，3，2））（7，5，（4，3））

            （8，7，（6，5，4，3，2））（8，6，（5，4，3））（8，5，（4））

             对于上述的数据采用记号[a，b，c，...] 记录对应每种的子情况数，则转化如下：

             [1]

             [2]

             [3，1]

             [4，2]

             [5，3，1]

            观察发现，每组中对应的子情况数依次递增1，每当最后的一组变为3时，后面就出现新的组；

            这是因为n的奇偶性不同产生的影响，当最长的边为l时，对应存在的解应该如下：

            （l，l-1，（2））（l，l-2，（3，2）），... ，（l，l-k，（k，..，2））

            无论l的奇偶性，k均取值l/2（这里是整除），因此解的个数与奇偶性相关的；

           2.然后观察计算

           解的个数为：n-3 + n-5 + .. + r；{ n为奇数r为2，n为偶数r为1 }

           分就两种情况求通向公式有：

           f（n）=（n^2 + 4n +4）/ 4 { n为偶数 }；f（n）= （n^2 + 4n +3）/ 4 { n为奇数 }；

           因为写成程序时是整除运算，所以这里都是用偶数的通项公式没有影响；

           因此有：f（n）= （n^2 + 4n +4）/ 4，为最长边为n时的解的个数，求和输出即可。

          说明：注意使用long long类型。

【按照公式简单获取AC代码】

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define ll unsigned long longconst int maxn = 1000002;ll a[maxn],sum[maxn];int main(){    sum[3]=0;    for(int i=4; i<=maxn; i++)    {        a[i] = (ll)(i*i-i*4+4)/4;        sum[i]=sum[i-1]+a[i];    }    int n;    while(~scanf("%d",&n)&&n>=3)    {        printf("%llu\n",sum[n]);    }    return 0;}