最大字段和问题

一、最大子段和
题目描述：
N个整数组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的连续子段和的最大值。当所给的整数均为负数时和为0。
例如：-2,11,-4,13,-5,-2，和最大的子段为：11,-4,13。和为20。

思路：
1.简单枚举，时间复杂度为O(n^3)，优化一下可以到O(n^2)。
2.分治，复杂度为O（nlogn）。
3.dp，复杂度O(n)。

• dp[j]表示包括a[j]的最大字段和 a[i]+a[i+1]+…+a[j]，则dp[j]=a[j]+max(0, dp[j-1])。
• 滚动数字，优化空间复杂度。

// 51node 1049#include <cstdio>typedef long long LL;int main(int argc, char const *argv[]){    int n;    scanf("%d", &n);    LL t, tmp;    LL ans = 0;    for(int i = 0; i < n; i++)    {        scanf("%lld", &t);        if(i > 0 && tmp > 0)            t += tmp;        if(ans < t)            ans = t;        tmp = t;    }       printf("%lld\n", ans);    return 0;}

二、最大子阵问题

问题描述
　　

给定一个n*m的矩阵A，求A中的一个非空子矩阵，使这个子矩阵中的元素和最大。

　　其中，A的子矩阵指在A中行和列均连续的一块。

输入格式
　　

输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示矩阵A的行数和列数。 　　接下来n行，每行m个整数，表示矩阵A。

输出格式
　　
输出一行，包含一个整数，表示A中最大的子矩阵中的元素和。

样例输入

3 3
-1 -4 3
3 4 -1
-5 -2 8

样例输出

10

思路：
将最大子阵问题转化为最大子段和问题。
求出所有连续行情况的合并行；
求出每个合并行最大子段和找最大值。
时间复杂度O(n^3).

//PREV-26 #include <stdio.h>#include <string.h>typedef long long LL;const int MAXN = 510;int n, m;LL sum[MAXN][MAXN];LL tmp[MAXN];int main(int argc, char const *argv[]){    scanf("%d%d", &n, &m);    memset(sum, 0, sizeof(sum));    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        for(int j = 1; j <= m; j++)            scanf("%I64d", &sum[i][j]);        for(int j = 1; j <= m; j++)            sum[i][j] += sum[i-1][j];    }    LL ans = -5000;    for(int i = 1; i <= n; i++)        for(int j = i; j <= n; j++)        {            for(int k = 1; k <= m; k++)                tmp[k] = sum[j][k] - sum[i-1][k];            LL ta = -5000;            LL t = 0;            for(int k = 1; k <= m; k++)            {                if(t < 0)                    t = 0;                t += tmp[k];                if(ta < t)                    ta = t;            }            if(ans < ta)                ans = ta;        }    printf("%I64d\n", ans);    return 0;}