主元素问题

主元素(Majority Number)定义为数组中出现次数严格超过一半的数。找到这个数。要求使用O(1)的额外空间和O(n)的时间。

初阶：有N个数，其中一个数的出现次数严格超过了一半。求这个数。

进阶1：有N个数，其中两个数的出现次数都超过了⅓ ，求这两个数。

进阶2：有N个数，其中一个数的出现次数严格超过了⅓，并且没有第二个这样的数。求这个数

进阶3：如果数组中存在且只存在一个出现次数严格超过1/k的数，找到这个数。要求使用O(k)的额外空间和O(n)的时间。

初阶：

采用抵消法。一旦发现数组中存在两个不同的数，就都删除，直到剩下的数都一样。此时剩下的数就是主元素。因为每次抵消操作之 后，剩下来的数种，主元素一定也还是超过一半的。具体实现的时候，记录一个candidate和其出现的次数count，遍历每个数，如果count==0，则把candidate置为遍历到的数，否则看遍历到的数和candidate是否相等，如果相等，则count++，否则count--（抵消），遍历结束后，candidate就是主元素。C++实现如下：

int majorityElement2(vector<int>& nums) {    int cnt = 1,tmp = nums[0],n = nums.size();    for(int i=1;i<n;i++){        if(0 == cnt)            tmp = nums[i];        if(nums[i]==tmp)            cnt++;        else cnt--;    }    return tmp;}

当然该问题没有严格是时空限制，也可直接C++STL实现。想一下可以发现，如果一个数字存在一个数出现的概率严格大于1/2，那个如果对数组进行排序，中间的那个数肯定就是这个要找的数。

int majorityElement(vector<int>& nums) {    sort(nums.begin(),nums.end());    int n=nums.size();    return nums[n/2];    }

进阶1：仍然是抵消法。如果三个数不一样，就三个数都扔掉。因此记录2个数，及其各自出现次数即可。直接上代码：

vector<int> majorityElement(vector<int>& nums) {    vector<int>res;    int n = nums.size();    if(n<1)return res;    int cnt1=0,cnt2=0,tmp1=nums[0],tmp2=nums[0];    for (int i = 0; i < n; i++) {        if (nums[i] == tmp1)            cnt1++;        else if (nums[i] == tmp2)            cnt2++;        else if (cnt1 == 0) {            tmp1 = nums[i];            cnt1 = 1;        } else if (cnt2 == 0) {            tmp2 = nums[i];            cnt2 = 1;        } else {            cnt1--;            cnt2--;        }    }    int count1=0,count2=0,tmp=0;    for(int i=0;i<n;i++){        if(nums[i]==tmp1)            count1++;        else if(nums[i]==tmp2)            count2++;    }    if(count1>n/3)        res.push_back(tmp1);    if(count2>n/3)        res.push_back(tmp2);    return res;}

进阶2：该问题其实是进阶1的简化版，可直接通过修改进阶1代码实现

int majorityElement(vector<int>& nums) {    int n = nums.size();    int cnt1=0,cnt2=0,tmp1=nums[0],tmp2=nums[0];    for (int i = 0; i < n; i++) {        if (nums[i] == tmp1)            cnt1++;        else if (nums[i] == tmp2)            cnt2++;        else if (cnt1 == 0) {            tmp1 = nums[i];            cnt1 = 1;        } else if (cnt2 == 0) {            tmp2 = nums[i];            cnt2 = 1;        } else {            cnt1--;            cnt2--;        }    }    int count1=0,count2=0,tmp=0;    for(int i=0;i<n;i++){        if(nums[i]==tmp1)            count1++;        else if(nums[i]==tmp2)            count2++;    }    if(count1>count2)return tmp1;else return tmp2;      }

进阶3：一个方法是按照前面的进行推广，如果出现k个不一样的数，就抵消掉。假设k=4，实现如下

int majorityElement4(vector<int>& nums) {    int n = nums.size();    int cnt1=1,cnt2=1,cnt3=1;int tmp1=nums[0],tmp2=nums[0],tmp3=nums[0];    for (int i = 1; i < n; i++) {        if (nums[i] == tmp1)            cnt1++;        else if (nums[i] == tmp2)            cnt2++;else if(nums[i]==tmp3)cnt3++;        else if (cnt1 == 0) {            tmp1 = nums[i];            cnt1 = 1;        } else if (cnt2 == 0) {            tmp2 = nums[i];            cnt2 = 1;        }else if (cnt2 == 0) {            tmp2 = nums[i];            cnt2 = 1;        }else {            cnt1--;            cnt2--;cnt3--;        }    }    int count1=0,count2=0,count3=0;    for(int i=0;i<n;i++){        if(nums[i]==tmp1)            count1++;        else if(nums[i]==tmp2)            count2++;else if(nums[i]==tmp3)count3++;    }int c = max(count1,max(count2,count3));map<int, int> mymap;    mymap.insert(pair<int, int>(count1, tmp1));    mymap.insert(pair<int, int>(count2, tmp2));    mymap.insert(pair<int, int>(count3, tmp3));    map<int, int>::iterator  iter = mymap.find(c);    return iter->second;}

进阶3：另一个思路是，如果出现k个不一样的数，就抵消掉。这里需要用巧妙的数据结构来记录Candidates，并使得如下操作均为O(1)：

1. 加入一个Candidate/给某个Candidate出现次数+1

2. Candidates中是否存在某个数

3. Candidates中所有数的出现次数 - 1

4. 移除出现次数为0的Candidates

对于1,2两个操作，我们自然可以想到使用Hash表来完成。对于第4两个操作，我们希望能够有出现次数最少的Candidate的信息，但是如果使用Heap则并非O(1)的时间复杂度。注意到每一次加入一个Candidate时，count均为1，每一次给改变一个Candidate出现次数时，也只涉及到加1运算。因此，如果我们能维护Candidates的有序性，就可以容易的解决这个问题。方法是，使用LinkedList。与普通的LinkedList不同的是，我们将所有出现次数相同的Candidate放在一个Bucket里，Bucket内部的Candidate用Doubly Linked List链接起来，Bucket之间也用Doubly Linked List链接起来。这样针对+1运算，我们只需要通过Hash表找到对应的Candidate，把Candidate从当前的Bucket移动到下一个Bucket（出现次数+1的Bucket)。另外，对于所有数-1的操作，我们记录全局的一个Base，每次-1操作，则Base+1。如果Base和Buckets中的第一个Bucket中的Candidates的出现次数相同，则整个删除第一个Bucket。最后，我们会得到最大k-1个Candidates，重新遍历一遍整个数组，用O(k)的Hash记录这k-1个Candidates的出现次数，就可以验证谁是真正的主元素。

**************************C++实现下次更新*************************

完整的测试代码：

#include<iostream>#include<vector>#include<map>using namespace std;vector<int> majorityElement(vector<int>& nums) {    vector<int>res;    int n = nums.size();if(n<1)return res;    int cnt1=1,cnt2=1,tmp1=nums[0],tmp2=nums[0];    for (int i = 1; i < n; i++) {        if (nums[i] == tmp1)            cnt1++;        else if (nums[i] == tmp2)            cnt2++;        else if (cnt1 == 0) {            tmp1 = nums[i];            cnt1 = 1;        } else if (cnt2 == 0) {            tmp2 = nums[i];            cnt2 = 1;        } else {            cnt1--;            cnt2--;        }    }    int count1=0,count2=0,tmp=0;    for(int i=0;i<n;i++){        if(nums[i]==tmp1)            count1++;        else if(nums[i]==tmp2)            count2++;    }    if(count1>n/3)        res.push_back(tmp1);    if(count2>n/3)        res.push_back(tmp2);    return res;}int majorityElement2(vector<int>& nums) {    int cnt = 1,tmp = nums[0],n = nums.size();    for(int i=1;i<n;i++){        if(0 == cnt)            tmp = nums[i];        if(nums[i]==tmp)            cnt++;        else cnt--;    }    return tmp;}int majorityElement3(vector<int>& nums) {    int n = nums.size();    int cnt1=1,cnt2=1,tmp1=nums[0],tmp2=nums[0];    for (int i = 1; i < n; i++) {        if (nums[i] == tmp1)            cnt1++;        else if (nums[i] == tmp2)            cnt2++;        else if (cnt1 == 0) {            tmp1 = nums[i];            cnt1 = 1;        } else if (cnt2 == 0) {            tmp2 = nums[i];            cnt2 = 1;        } else {            cnt1--;            cnt2--;        }    }    int count1=0,count2=0,tmp=0;    for(int i=0;i<n;i++){        if(nums[i]==tmp1)            count1++;        else if(nums[i]==tmp2)            count2++;    }    if(count1>count2)return tmp1;else return tmp2;}int majorityElement4(vector<int>& nums) {    int n = nums.size();    int cnt1=1,cnt2=1,cnt3=1;int tmp1=nums[0],tmp2=nums[0],tmp3=nums[0];    for (int i = 1; i < n; i++) {        if (nums[i] == tmp1)            cnt1++;        else if (nums[i] == tmp2)            cnt2++;else if(nums[i]==tmp3)cnt3++;        else if (cnt1 == 0) {            tmp1 = nums[i];            cnt1 = 1;        } else if (cnt2 == 0) {            tmp2 = nums[i];            cnt2 = 1;        }else if (cnt2 == 0) {            tmp2 = nums[i];            cnt2 = 1;        }else {            cnt1--;            cnt2--;cnt3--;        }    }    int count1=0,count2=0,count3=0;    for(int i=0;i<n;i++){        if(nums[i]==tmp1)            count1++;        else if(nums[i]==tmp2)            count2++;else if(nums[i]==tmp3)count3++;    }int c = max(count1,max(count2,count3));map<int, int> mymap;    mymap.insert(pair<int, int>(count1, tmp1));    mymap.insert(pair<int, int>(count2, tmp2));    mymap.insert(pair<int, int>(count3, tmp3));    map<int, int>::iterator  iter = mymap.find(c);    return iter->second;}int main(){int arr2[]={2,3,2,5,2,1,2};int arr3[]={1,4,3,3};int arr[]={1,2,3,2,5,2,1,2,1,1};vector<int>vec2(arr2,arr2+7);vector<int>vec3(arr3,arr3+4);vector<int>vec(arr,arr+10);vector<int>result;int a,b,c;a = majorityElement2(vec2);b = majorityElement3(vec3);c = majorityElement4(vec3);result = majorityElement(vec);cout<<"出现1/2次以上的数："<<a<<endl;cout<<"出现1/3次以上的数："<<b<<endl;cout<<"出现1/4次以上的数："<<c<<endl;cout<<"所有出现概率1/3以上的数:";for(vector<int>::iterator iter=result.begin();iter !=result.end();++iter)cout<<*iter<<" ";cout<<endl;return 0;}

参考 http://www.jiuzhang.com/problem/37/