Ugly Number

Ugly Number
问题描述：只含有素因子2,3,5的数，称为Ugly Number，并且认为1是Ugly Number。eg. 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,…

问题1

给定一个数num，判断其是否为Ugly Number，是则返回true，否则返回false。

分析：判断这个数是否可以被2或者3或者5整除，并且循环判断，直到结果为1，则则这个数是Ugly Number，返回true，否则返回false。

public boolean isUglyNumber(int m) {        if(m <= 0) {            return false;        }        while(m != 1) {            if(m % 2 == 0) {                m /= 2;            } else if(m % 3 == 0) {                m /= 3;            } else if(m % 5 == 0) {                m /= 5;            } else {                return false;            }        }        return true;    }

显然，这个算法的时间复杂度是O(logN)。

问题2

给定一个数n，返回Ugly Number列表的第n个数。Ugly Number列表为1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,....。eg.

n为1时，返回1；
n为7时，返回8；
n为10时，返回12；
…
题目链接：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/ugly-number-ii/
分析：
方法1：可以使用一个循环，从1开始，判断每一个数是不是Ugly Number，直到得到第n个数。

public int nthUglyNumber(int n) {        int sum = 0;        int i = 1;        while(sum < n) {            if(isUglyNumber(i)) {                sum++;            }            i++;        }        return i - 1;    }

显然，这个方法的时间复杂度是O(N*logN)。在lintCode上提交的时候，会发现超过时间限制，所以还需要更好的方法。
方法2：可以换一个思路，我们可以用一个数组，来手动生成一个Ugly Number的列表。就如同Fibonacci数列一样，后边的数字，总是可以由前边的数字得到。
假设A是一个长度为n的int数组，起始的时候A[0]=1，其它元素均为default值0。后边的元素均可以通过A[0]和因子2，3，5相乘来得到。
第一步： A[0]=1；
第二步： 取min(2*A[0], 3*A[0], 5*A[0])即2*A[0]=2作为A[1]。此时，A[0]=1，A[1]=2，则后边的元素可以通过A[0]和A[1]和因子2，3，5相乘来得到；
第三步： 由于在第二步中2*A[0]已经作为了A[1]，所以，2的因子的数组下标应该加1，即由A[0]变为A[1],取min(2*A[1], 3*A[0], 5*A[0])即3*A[0]=3作为A[2]。此时，A[0]=1，A[1]=2，A[2]=3。后边的元素可以通过A[0]，A[1]，A[2]和因子2，3，5相乘来得到；
第四步： 以此类推，A[3]=min(2*A[1], 3*A[1], 5*A[0])=2*A[1]=4；
第五步： A[4]=min(2*A[2], 3*A[1], 5*A[0])=5*A[0]=5；
第六步： A[5]=min(2*A[2], 3*A[1], 5*A[1])=6，注意，此时2*A[2]和3*A[1]的值均为最小值6，所以在下一步中，2和3的因子的数组下标都应该加1，即2*A[3]和3*A[2]；
第七步： A[6]=min(2*A[3], 3*A[2], 5*A[1])=2*A[3]=8；
…
以此类推，得到A[n-1]即为题目所求。

public int nthUglyNumber(int n) {        if(n <= 0) {            return 0;        }        int [] nums = new int[n];        nums[0] = 1;        int index2 = 0, index3 = 0, index5 = 0;        for(int i = 1; i < n; i++) {            nums[i] = Math.min(2 * nums[index2], Math.min(3 * nums[index3], 5 * nums[index5]));            if (nums[i] == 2 * nums[index2]) {                index2++;            }            if (nums[i] == 3 * nums[index3]) {                index3++;            }            if(nums[i] == 5 * nums[index5]) {                index5++;            }                   }        return nums[n - 1];    }

显然，方法2的时间复杂度为O(N)。

问题3

Super Ugly Number，给定一个素数数组primes和一个正整数n，求使用这个数组构建的Ugly Number的第n个数。这个问题是问题2的一般化，在问题2中，相当与primes是{2,3,5}。

题目链接：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/super-ugly-number/
分析： 与问题2的第二种思路一样，这里使用一个数组来保存下标，相当于上面的index2,index3,index5。

/**     * @param n a positive integer     * @param primes the given prime list     * @return the nth super ugly number     */    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {        if(n <= 0) {            return 0;        }        int []nums = new int[n];        int []index = new int[primes.length];        nums[0] = 1;        for(int i = 1; i < n; i++) {            //find min number as nums[i]            int min = primes[0] * nums[index[0]];            for(int j = 1; j < primes.length; j++) {                if(primes[j] * nums[index[j]] < min) {                    min = primes[j] * nums[index[j]];                }            }            nums[i] = min;            //update index            for(int j = 0; j < primes.length; j++) {                if(min == primes[j] * nums[index[j]]) {                    index[j]++;                }            }        }        return nums[n - 1];    }

假设primes的length为M，显然，这个方法的时间复杂度是O(N*M)。