reservoir_sampling

Reservoir Sampling 蓄水池抽样

1.问题描述

从包含n个元素的列表L（比如链表、输入流等）中随机选取k个样本。
- 其中n是一个很大或者未知的数量，也不能把n个元素都放到内存中，所以无法提前知道n。
- k个样本要随机选取。
- 只能遍历一次链表。

2.解决方案

1）分析问题

• k个样本要随机选取。一种可行的随机方案是n个元素中每个元素被选取的概率都相等，所以每个样本被选中的概率 = k/n

• 只能遍历一次链表L。假设当前已遍历的链表长度为i,如果对于任意的i>=k,满足每个样本被选取的概率是k/i；那么遍历至链表末尾时（i == n）,每个样本被选取的概率就是 k/n.

• 问题的关键就在于：对于任意的i>=k,每个样本被选取的概率是k/i。

2）解决问题

• a) 首先定义一个大小为k的数组R（蓄水池），用于保存k个抽样结果。
• b) 然后将链表的前k个元素放入蓄水池R中，并令i := k。
  此时，蓄水池中每个样本被选中的概率 = k/i = 1.
• c) 接着从第k+1个元素开始遍历链表（i := k+1 to n），对于每一个链表元素 L[i]:
  
  • i) 首先生成一个[1,i]范围内的随机数 j
  • ii) 如果该随机数 j <= k，那么 令 R[j] = L[i]
  • iii) 从以上过程可以看出：在访问链表元素L的元素i的时候，蓄水池R中的任意一个元素被L[i]替换的概率 = k/i * 1/k = 1/i
  • iv) 也就是说：蓄水池中每个元素保留在蓄水池中（不被替换）的概率 = 1 - 1/i = (i-1)/i
• d) 归纳法证明：对任意的 i >= k,也满足蓄水池中每个样本被选中的概率 = k/i
  
  • i) 当i==k时，显然链表中每个元素都会出现在蓄水池中，每个样本被选中的概率 = k/i = 1;
  • ii) 假设当访问链表第i-1个元素时（i>=k+1）,每个样本被选中的概率 = k/(i-1)
  • iii) 并且已知在访问第i个元素时，蓄水池中每个元素保留下来的概率 = (i-1)/i
  • iv) 那么当访问第i个元素时，蓄水池中每个元素被选中的概率 = k/(i-1)*(i-1)/i = k/i
  • v) 当i==n时，蓄水池中每个元素被抽样选中的概率 = k/n. 证明完毕.

3.代码实现

注意：编程语言下标从0开始，所以实现和上述下标从1开始的证明过程有略微不同。
C++代码：

#include <iostream>#include <cstdlib>#include <ctime>#include <vector>#include <list>#include <string>std::vector<int> reservoir_sampling(std::list<int> L, int k){    std::vector<int> R;    if(L.empty() || k == 0) return R;    int idx = 0;    auto iter = L.begin();    for(idx = 0; idx < k && iter != L.end(); idx++ , iter++)        R.push_back(*iter);    if(R.size() < k) return std::vector<int>();  //empty vector means sampling failed.    std::srand(std::time(0));    for(idx = k; iter != L.end(); idx++ , iter++){        int j = std::rand()%(idx+1);        if(j <= k-1) R[j] = *iter;    }    return R;}int main(int argc, char* argv[]){    int N = 10000;    if(argc >= 2) N = std::stoi(argv[1]);    std::cout << "N = " << N << std::endl;    int K = 100;    if(argc >= 3) K = std::stoi(argv[2]);    std::cout << "K = " << K << std::endl;    std::list<int> L;    for(int i = 1; i <= N; i++) L.push_back(i);    std::vector<int> R = reservoir_sampling(L,K);    auto iter = R.begin();    int idx = 0;    long long sum = 0;    while(iter != R.end()){        std::cout << *iter << " ";        sum += *iter;        iter++;        idx++;        if(idx%10 == 0) std::cout << std::endl;    }    std::cout << std::endl;    std::cout << "SUM of sampling = " << sum << std::endl;    std::cout << "Average of sampling = " << (sum/K) << std::endl;    return 0;}

4.抽样测试

1)编译

g++  reservoir_sampling.cpp -o reservoir_sampling

2)测试

# random sampling K=10000 numbers from [1,N=1000000]./reservoir_sampling 1000000 10000

3)结果

# 1st runSUM of sampling = 4982726215Average of sampling = 498272# 2ed runSUM of sampling = 5015693839Average of sampling = 501569# 3rd runSUM of sampling = 5033167581Average of sampling = 503316# 4th runSUM of sampling = 4959622014Average of sampling = 495962