LPS

来源：互联网发布：淘宝申请企业店铺条件编辑：程序博客网时间：2024/04/27 21:46

给一个字符串，找出它的最长的回文子序列的长度。例如，如果给定的序列是“BBABCBCAB”，则输出应该是7，“BABCBAB”是在它的最长回文子序列。 “BBBBB”和“BBCBB”也都是该字符串的回文子序列，但不是最长的。注意和最长回文子串的区别(参考：最长回文串)！这里说的子序列，类似最长公共子序列LCS( Longest Common Subsequence)问题，可以是不连续的。这就是LPS(Longest Palindromic Subsequence)问题。

最直接的解决方法是：生成给定字符串的所有子序列，并找出最长的回文序列，这个方法的复杂度是指数级的。下面来分析怎么用动态规划解决。

1）最优子结构

假设 X[0 ... n-1] 是给定的序列，长度为n. 让 L(0,n-1) 表示序列 X[0 ... n-1] 的最长回文子序列的长度。

1. 如果X的最后一个元素和第一个元素是相同的，这时：L(0, n-1) = L(1, n-2) + 2 , 还以 “BBABCBCAB” 为例，第一个和最后一个相同，因此 L(1,n-2) 就表示蓝色的部分。

2. 如果不相同：L(0, n-1) = MAX ( L(1, n-1) , L(0, n-2) )。以”BABCBCA” 为例，L(1,n-1)即为去掉第一个元素的子序列，L(0, n-2)为去掉最后一个元素。

有了上面的公式，可以很容易的写出下面的递归程序：

01#include<stdio.h>
02#include<string.h>
03int lps(char *seq, int i, int j)
04{
05   //一个元素即为1
06   if (i == j)
07     return 1;
08   if(i > j) return 0; //因为只计算序列 seq[i ... j]
09 
10   // 如果首尾相同
11   if (seq[i] == seq[j])
12      return lps (seq, i+1, j-1) + 2;
13 
14   // 首尾不同
15   return max( lps(seq, i, j-1), lps(seq, i+1, j) );
16}
17 
18/* 测试 */
19int main()
20{
21    char seq[] = "acmerandacm";
22    int n = strlen(seq);
23    printf ("The lnegth of the LPS is %d", lps(seq, 0, n-1));
24    getchar();
25    return 0;
26}

Output: The lnegth of the LPS is 5 (即为: amama)

重叠子问题

画出上面程序的递归树(部分)，已一个长度为6 的字符串为例：

1             L(0, 5)
2           /        \
3          /          \ 
4      L(1,5)          L(0,4)
5     /    \            /    \
6    /      \          /      \
7L(2,5)    L(1,4)  L(1,4)  L(0,3)

可见有许多重复的计算，例如L(1,4)。该问题符合动态规划的两个主要性质: 重叠子问题 和 最优子结构 。

下面通过动态规划的方法解决，通过自下而上的方式打表，存储子问题的最优解。

01int lpsDp(char * str,int n){
02    int dp[n][n], tmp;
03    memset(dp,0,sizeof(dp));
04    for(int i=0; i<n; i++) dp[i][i] = 1;
05    // i 表示 当前长度为 i+1的 子序列
06    for(int i=1; i<n; i++){
07        tmp = 0;
08        //考虑所有连续的长度为i+1的子串. 该串为 str[j, j+i]
09        for(int j=0; j+i<n; j++){
10            //如果首尾相同
11            if(str[j] == str[j+i]){
12                tmp = dp[j+1][j+i-1] + 2;
13            }else{
14                tmp = max(dp[j+1][j+i],dp[j][j+i-1]);
15            }
16            dp[j][j+i] = tmp;
17        }
18    }
19    //返回串 str[0][n-1] 的结果
20    return dp[0][n-1];
21}

该算法的时间复杂度为O(n^2)。其实这个问题和最长公共子序列问题有些相似之处，我们可以对LCS算法做些修改，来解决此问题:

1) 对给定的字符串逆序存储在另一个数组 rev[] 中

2) 再求这两个字符串的 LCS的长度

时间复杂度也为 O(n^2)。

参考：http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-12-longest-palindromic-subsequence/

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