[FFT]快速傅里叶变换

来源：互联网发布：机房网络静电地板编辑：程序博客网时间：2024/04/28 09:59

引入

首先，FFT是快速傅里叶变换的简称。傅里叶变换是一个数学中使用的对函数的变换，而离散傅里叶变换顾名思义就是对于离散点的傅里叶变换。
那么，在OI中，傅里叶变换的最大意义，就在于加速向量卷积，即多项式乘法。

现有两个多项式

A (x) = \sum i = 0 n a i * x i B (x) = \sum i = 0 n b i * x i

我们这样定义它们的乘法

C (x) = \sum i = 0 2 n - 1 (\sum j = 0 i a j * b i - j) x i = A (x) * B (x)

计算它们的乘法，朴素的做法需要

O(n2)的复杂度
我们将上述

A(x)中的系数写作一个向量

A，这种方法称为系数表示法

现在来考虑另一种方法：点值表示法
设向量A=(A(x1),A(x2)...A(xn))则A称作A(x)的点值表示法
点值表示法有如下性质

性质一
唯一性：一个n维点值与一个n维系数一一对应

性质二

C (x) = \sum i = 0 2 n - 1 (\sum j = 0 i a j * b i - j) x i

= \sum i = 0 2 n - 1 \sum j = 0 i (a j x j) * (b i - j x i - j)

= \sum j = 0 2 n - 1 (a j x j) * \sum i = 0 2 n - 1 (b i x i)

点值下的乘法复杂度是

O(n)的

满足

x n = 1

的复数，称为单位根，记作

ωn
它可以看作是复平面上x轴绕逆时针方向旋转

2πn的复数
单位根有一些显而易见的性质

ω 2 m 2 n = ω m n

ω m 2 n = - ω n + m 2 n

我们利用单位根作特殊值进行系数表示与点值表示的变换
设A0(x)是A(x)的偶次项的和，A1(x)是A(x)的奇次项的和
那么有

A (ω m n) = A 0 ((ω m n) 2) + ω m n A 1 ((ω m n) 2)

= A 0 (ω m n / 2) + ω m n A 1 (ω m n / 2)

A (ω m + n / 2 n) = A 0 ((ω m + n / 2 n) 2) + ω m + n / 2 n A 1 ((ω m + n / 2 n) 2)

= A 0 (ω m n / 2) + ω m + n / 2 n A 1 (ω m n / 2)

= A 0 (ω m n / 2) - ω m n A 1 (ω m n / 2)

显然A0,A1都是子问题，我们知道了它们的点值表示，就能线性地求出A(x)的点值表示
每一层对于一个确定的m，我们用对应的两个值来更新出当前的值，称这个操作为“蝴蝶变换”
这样我们可以用O(nlogn)的时间完成系数到点值的转换

从定义出发，从系数表示到点值表示的变换可以看成下面一个矩阵乘法

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 111 . . . 1 1 w 1 n w 2 n . . . w n - 1 n 1 w 2 n w 4 n . . . w 2 (n - 1) n . . . . . . . . . . . . . . . 1 w n n w 2 n n . . . w n (n - 1) n ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 0 a 1 a 2 . . . a n - 1 ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y 0 y 1 y 2 . . . y n - 1 ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

假如我们想通过y得到a关键在于得到左边的矩阵的逆矩阵
这个矩阵是这样的

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 111 . . . 1 1 w - 1 n w - 2 n . . . w - (n - 1) n 1 w - 2 n w - 4 n . . . w - 2 (n - 1) n . . . . . . . . . . . . . . . 1 w - n n w - 2 n n . . . w - n (n - 1) n ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

这样，我们只需要把代进去的向量翻转一下，然后进行FFT即可

根据上面的理论，我们已经可以进行迭代版的FFT了
但是经过观察，我们发现：
这里写图片描述
我们每次把当前序列的偶数项，奇数项分别提取出来分别列在左右，这样序列里的每个数最后都会在一个位置上，我们可以通过这个循环把每一项最终的位置算出来

for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));

然后我们就可以实现非迭代的FFT了，相比之下会快很多

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