javascript:算法笔记

javascript:算法笔记

入门级算法-线性查找-时间复杂度O(n)–相当于算法界中的HelloWorld

//线性搜索(入门HelloWorld)

//A为数组，x为要搜索的值

function linearSearch(A, x) {    for (var i = 0; i < A.length; i++) {        if (A[i] == x) {            return i;        }    }    return -1;} 

二分查找(又称折半查找) - 适用于已排好序的线性结构 - 时间复杂度O(logN)

//二分搜索

//A为已按”升序排列”的数组，x为要查询的元素

//返回目标元素的下标

function binarySearch(A, x) {    var low = 0, high = A.length - 1;    while (low <= high) {        var mid = Math.floor((low + high) / 2); //下取整               if (x == A[mid]) {            return mid;        }        if (x < A[mid]) {            high = mid - 1;        }        else {            low = mid + 1;        }    }    return -1;} 

冒泡排序 – 时间复杂度O(n^2)

//冒泡排序

function bubbleSort(A) {    for (var i = 0; i < A.length; i++) {        var sorted = true;    //注意：内循环是倒着来的        for (var j = A.length - 1; j > i; j--) {            if (A[j] < A[j - 1]) {                swap(A, j, j - 1);                sorted = false;                                }        }        if (sorted) {            return;        }    }} 

选择排序 – 时间复杂度O(n^2)

//选择排序

//思路：找到最小值的下标记下来，再交换

function selectionSort(A) {    for (var i = 0; i < A.length - 1; i++) {        var k = i;        for (var j = i + 1; j < A.length; j++) {            if (A[j] < A[k]) {                k = j;            }        }        if (k != i) {            var t = A[k];            A[k] = A[i];            A[i] = t;            println(A);        }    }    return A;} 

插入排序 – 时间复杂度O(n^2)

//插入排序

//假定当前元素之前的元素已经排好序，先把自己的位置空出来，

//然后前面比自己大的元素依次向后移，直到空出一个”坑”，

//然后把目标元素插入”坑”中

function insertSort(A) {    for (var i = 1; i < A.length; i++) {        var x = A[i];        for (var j = i - 1; j >= 0 && A[j] > x; j--) {            A[j + 1] = A[j];        }        if (A[j + 1] != x) {            A[j + 1] = x;            println(A);        }    }    return A;} 

字符串反转 – 时间复杂度O(logN)

//字符串反转(比如：ABC -> CBA)

function inverse(s) {    var arr = s.split('');    var i = 0, j = arr.length - 1;    while (i < j) {        var t = arr[i];        arr[i] = arr[j];        arr[j] = t;        i++;        j--;    }    return arr.join('');} 

关于稳定性排序的一个结论：

基于比较的简单排序算法，即时间复杂度为O(N^2)的排序算法，通常可认为均是稳定排序

其它先进的排序算法，比如归并排序、堆排序、桶排序之类（通常这类算法的时间复杂度可优化为n*LogN），通常可认为均是不稳定排序

单链表实现

<script type="text/javascript">    function print(msg) {        document.write(msg);    }    function println(msg) {        print(msg + "<br/>");    }    //节点类    var Node = function (v) {        this.data = v; //节点值        this.next = null; //后继节点    }    //单链表    var SingleLink = function () {        this.head = new Node(null); //约定头节点仅占位，不存值        //插入节点        this.insert = function (v) {            var p = this.head;            while (p.next != null) {                p = p.next;            }            p.next = new Node(v);        }        //删除指定位置的节点        this.removeAt = function (n) {            if (n <= 0) {                return;            }            var preNode = this.getNodeByIndex(n - 1);            preNode.next = preNode.next.next;        }        //取第N个位置的节点(约定头节点为第0个位置)        //N大于链表元素个数时，返回最后一个元素        this.getNodeByIndex = function (n) {            var p = this.head;            var i = 0;            while (p.next != null && i < n) {                p = p.next;                i++;            }            return p;        }        //查询值为V的节点，        //如果链表中有多个相同值的节点，        //返回第一个找到的        this.getNodeByValue = function (v) {            var p = this.head;            while (p.next != null) {                p = p.next;                if (p.data == v) {                    return p;                }            }            return null;        }        //打印输出所有节点        this.print = function () {            var p = this.head;            while (p.next != null) {                p = p.next;                print(p.data + " ");            }            println("");        }    }    //测试单链表L中是否有重复元素    function hasSameValueNode(singleLink) {        var i = singleLink.head;        while (i.next != null) {            i = i.next;            var j = i;            while (j.next != null) {                j = j.next;                if (i.data == j.data) {                    return true;                }            }        }        return false;    }    //单链表元素反转    function reverseSingleLink(singleLink) {        var arr = new Array();        var p = singleLink.head;        //先跑一遍，把所有节点放入数组        while (p.next != null) {            p = p.next;            arr.push(p.data);        }        var newLink = new SingleLink();        //再从后向前遍历数组,加入新链表        for (var i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {            newLink.insert(arr[i]);        }        return newLink;    }    var linkTest = new SingleLink();    linkTest.insert('A');    linkTest.insert('B');    linkTest.insert('C');    linkTest.insert('D');    linkTest.print();//A B C D    var newLink = reverseSingleLink(linkTest);    newLink.print();//D C B A</script> 

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关于邻接矩阵、邻接表的选择：

邻接矩阵、邻接表都是图的基本存储方式，

稀松图情况下（即边远小于顶点情况下），用邻接表存储比较适合（相对矩阵N*N而言，邻接表只存储有值的边、顶点，不存储空值，存储效率更高）

稠密图情况下（即边远大地顶点情况下），用邻接矩阵存储比较适合（数据较多的情况下，要对较做遍历，如果用链表存储，要经常跳来跳去，效率较低）

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堆：

几乎完全的二叉树：除了最右边位置上的一个或几个叶子可能缺少的二叉树。在物理存储上，可以用数组来存储，如果A[j]的顶点有左、右子节点，则左节点为A[2j]、右节点为A[2j+1]，A[j]的父顶点存储在A[j/2]中

堆：本身是一颗几乎完全的二叉树，而且父节点的值不小于子节点的值。应用场景：优先队列，寻找最大或次最大值；以及把一个新元素插入优先队列。

注：以下所有讨论的堆，约定索引0处的元素仅占位，有效元素从下标1开始

根据堆的定义，可以用以下代码测试一个数组是否为堆：

//测试数组H是否为堆

//(约定有效元素从下标1开始)

//时间复杂度O(n)

function isHeap(H) {    if (H.length <= 1) { return false; }    var half = Math.floor(H.length / 2); //根据堆的性质，循环上限只取一半就够了    for (var i = 1; i <= half; i++) {        //如果父节点，比任何一个子节点 小，即违反堆定义        if (H[i] < H[2 * i] || H[i] < H[2 * i + 1]) {            return false;        }    }    return true;} 

节点向上调整siftUp

某些情况下，如果堆中的某个元素值改变后(比如 10,8,9,7 变成 10,8,9,20 后，20需要向上调整 )，不再满足堆的定义，需要向上调整时，可以用以下代码实现

//堆中的节点上移

//(约定有效元素从下标1开始)

function siftUp(H, i) {    if (i <= 1) {        return;    }    for (var j = i; j > 1; j = Math.floor(j / 2)) {        var k = Math.floor(j / 2);        //发现 子节点 比 父节点大，则与父节点交换位置        if (H[j] > H[k]) {            var t = H[j];            H[j] = H[k];            H[k] = t;        }        else {            //说明已经符合堆定义，调整结束，退出            return;        }    }} 

节点向下调整siftDown (既然有向上调整，自然也有向下调整)

//堆中的节点下移

//(约定有效元素从下标1开始)

//时间复杂度O(logN)

function siftDown(H, i) {    if (2 * i > H.length) { //叶子节点，就不用再向下移了        return;    }    for (var j = 2 * i; j < H.length; j = 2 * j) {        //将j定位到 二个子节点中较大的那个上(很巧妙的做法)        if (H[j + 1] > H[j]) {            j++;        }        var k = Math.floor(j / 2);        if (H[k] < H[j]) {            var t = H[k];            H[k] = H[j];            H[j] = t;        }        else {            return;        }    }} 

向堆中添加新元素

//向堆H中添加元素x

//时间复杂度O(logN)

function insert(H, x) {    //思路：先在数组最后加入目标元素x    H.push(x);    //然后向上推    siftUp(H, H.length - 1);} 

从堆中删除元素

//删除堆H中指定位置i的元素

//时间复杂度O(logN)

function remove(H, i) {    //思路：先把位置i的元素与最后位置的元素n交换    //然后数据长度减1(这样就把i位置的元素给干掉了，但是整个堆就被破坏了)    //需要做一个决定：最后一个元素n需要向上调整，还是向下调整    //依据：比如比原来该位置的元素大，则向上调整，反之向下调整    var x = H[i]; //先把原来i位置的元素保护起来    //把最后一个元素放到i位置    //同时删除最后一个元素(js语言的优越性体现!)    H[i] = H.pop();    var n = H.length - 1;    if (i == n + 1) {        //如果去掉的正好是最后二个元素之一，        //无需再调整        return ;    }    if (H[i] > x) {        siftUp(H, i);    }    else {        siftDown(H, i);    }}

//从堆中删除最大项

//返回最大值

//时间复杂度O(logN)

function deleteMax(H) {    var x = H[1];    remove(H, 1);    return x;} 

堆排序：

这是一种思路非常巧妙的排序算法，精华在于充分利用了“堆”这种数据结构本身的特点（首元素必然最大），而且每个元素的上移、下调，时间复试度又比较低，仅为O(logN)，空间上，也无需借助额外的存储空间，仅在数组自身内部交换元素即可。

思路：

1、先将首元素(即最大元素)与最末尾的元素对调—目的在于，把最大值沉底，下一轮重就不再管它了

2、经过1后，剩下的元素通常已经不再是一个堆了。这时，只要把新的首元素用siftDown下调，调整完以后，新的最大值元素自然又上升到了首元素的位置

3、反复1、2，大的元素逐一沉底，最后整个数组就有序了。

时间复杂度分析：创建堆需要O(n)的代价，每次siftDown代价为O(logN)，最多调整n-1个元素，所以总代价为 O(N) + (N-1)O(logN)，最终时间复杂度为O(NLogN)

//堆中的节点下移

//(约定有效元素从下标1开始)

//i为要调整的元素索引

//n为待处理的有效元素下标范围上限值

//时间复杂度O(logN)

function siftDown(H, i, n) {    if (n >= H.length) {        n = H.length;    }    if (2 * i > n) { //叶子节点，就不用再向下移了        return;    }    for (var j = 2 * i; j < n; j = 2 * j) {        //将j定位到 二个子节点中较大的那个上(很巧妙的做法)        if (H[j + 1] > H[j]) {            j++;        }        var k = Math.floor(j / 2);        if (H[k] < H[j]) {            var t = H[k];            H[k] = H[j];            H[j] = t;        }        else {            return;        }    }}

//对数组的前n个元素进行创建堆的操作

function makeHeap(A, n) {    if (n >= A.length) {        n = A.length;    }    for (var i = Math.floor(n / 2); i >= 1; i--) {        siftDown(A, i, n);    }}

//堆排序(非降序排列)

//时间复杂度O(nlogN)

function heapSort(H) {    //先建堆    makeHeap(H, H.length);    for (var j = H.length - 1; j >= 2; j--) {        //首元素必然是最大的        //将最大元素与最后一个元素互换，        //即将最大元素沉底，下一轮不再考虑        var x = H[1];        H[1] = H[j];        H[j] = x;        //互换后，剩下的元素不再满足堆定义，        //把新的首元素下调(以便继续维持堆的"形状")        //调整完后，剩下元素中的最大值必须又浮到了第一位        //进入下一轮循环        siftDown(H, 1, j - 1);    }    return H;} 

关于建堆，如果明白其中的原理后，也可以逆向思路，反过来做

function makeHeap2(A, n) {    if (n >= A.length) {        n = A.length;    }    for (var i = Math.floor(n / 2); i <= n; i++) {        siftUp(A, i);    }} 

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不相交集合查找、合并

    //定义节点Node类    var Node = function (v, p) {        this.value = v; //节点的值        this.parent = p; //节点的父节点        this.rank = 0; //节点的秩(默认为0)             }    //查找包含节点x的树根节点      var find = function (x) {        var y = x;        while (y.parent != null) {            y = y.parent;        }        var root = y;        y = x;        //沿x到根进行“路径压缩”        while (y.parent != null) {            //先把父节点保存起来，否则下一行调整后，就弄丢了            var w = y.parent;            //将目标节点挂到根下            y.parent = root;            //再将工作指针，还原到 目标节点原来的父节点上，            //继续向上逐层压缩            y = w        }        return root;    }    //合并节点x，y对应的两个树   //时间复杂度O(m) - m为待合并的子集合数量    var union = function (x, y) {        //先找到x所属集合的根        var u = find(x);        //再找到y所属集合的根        var v = find(y);        //把rank小的集合挂到rank大的集合上        if (u.rank <= v.rank) {            u.parent = v;            if (u.rank == v.rank) {                //二个集合的rank不分伯仲时                //给"胜"出方一点奖励，rank+1                v.rank += 1;            }        }        else {            v.parent = u;        }    } 

归纳法：

先来看二个排序的递归实现

//选择排序的递归实现

//调用示例: selectionSort([3,2,1],0)

function selectionSortRec(A, i) {    var n = A.length - 1;    if (i < n) {        var k = i;        for (var j = i + 1; j <= n; j++) {            if (A[j] < A[k]) {                k = j            }        }        if (k != i) {            var t = A[k];            A[k] = A[i];            A[i] = t;        }        selectionSortRec(A, i + 1);    }}

//插入排序递归实现

//调用示例:insertSortRec([4,3,2,1],3);

function insertSortRec(A, i) {    if (i > 0) {        var x = A[i];        insertSortRec(A, i - 1);        var j = i - 1;        while (j >= 0 && A[j] > x) {            A[j + 1] = A[j];            j--;        }        A[j + 1] = x;    }} 

递归的程序通常易于理解，代码也容易实现，再来看二个小例子：

从数组中，找出最大值

//在数组中找最大值(递归实现)

function findMax(A, i) {    if (i == 0) {        return A[0];    }    var y = findMax(A, i - 1);    var x = A[i - 1];    return y > x ? y : x;}var A = [1,2,3,4,5,6,7,8,9];var test = findMax(A,A.length);alert(test);//返回9 

有一个已经升序排序好的数组，检查数组中是否存在二个数，它们的和正好为x ？

//5.33 递归实现

//A为[1..n]已经排好序的数组

//x为要测试的和

//如果存在二个数的和为x，则返回true，否则返回false

function sumX(A, i, j, x) {    if (i >= j) {        return false;    }    if (A[i] + A[j] == x) {        return true;    }    else if (A[i] + A[j] < x) {        //i后移        return sumX(A, i + 1, j, x);    }    else {        //j前移        return sumX(A, i, j - 1, x);    }}var A = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];var test1 = sumX(A,0,A.length-1,9);alert(test1); //返回true 

递归程序虽然思路清晰，但通常效率不高，一般来讲，递归实现，都可以改写成非递归实现，上面的代码也可以写成：

//5.33 非递归实现

function sumX2(A, x) {    var i = 0, j = A.length - 1;    while (i < j) {        if (A[i] + A[j] == x) {            return true;        }        else if (A[i] + A[j] < x) {            //i后移             i++;        }        else {            //j前移            j--;        }    }    return false;}var A = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8];var test2 = sumX2(A,9);alert(test2);//返回true 

递归并不总代表低效率，有些场景中，递归的效率反而更高，比如计算x的m次幂，常规算法，需要m次乘法运算，下面的算法，却将时间复杂度降到了O(logn)

//计算x的m次幂（递归实现）

//时间复杂度O(logn)

function expRec(x, m) {    if (m == 0) {        return 1;    }    var y = expRec(x, Math.floor(m / 2));    y = y * y;    if (m % 2 != 0) {        y = x * y    }    return y;} 

当然，这其中并不光是递归的功劳，其效率的改进 主要依赖于一个数学常识： x^m = [x^(m/2)]^2，关于这个问题，还有一个思路很独特的非递归解法，巧妙的利用了二进制的特点

//将10进制数转化成2进制

function toBin(dec) {    var bits = [];    var dividend = dec;    var remainder = 0;    while (dividend >= 2) {        remainder = dividend % 2;        bits.push(remainder);        dividend = (dividend - remainder) / 2;    }    bits.push(dividend);    bits.reverse();    return bits.join("");}

//计算x的m次幂（非递归实现）

//很独特的一种解法

function exp(x, m) {    var y = 1;    var bin = toBin(m).split('');    //先将m转化成2进制形式    for (var j = 0; j < bin.length; j++) {        y = y * 2;        //如果2进制的第j位是1，则再*x        if (bin[j] == "1") {            y = x * y        }    }    return y;}//println(expRec(2, 5));//println(exp(2, 5)); 

再来看看经典的多项式求值问题：

给定一串实数An，An-1，…，A1，A0 和一个实数X，计算多项式Pn(x)的值

著名的Horner公式：

已经如何计算：

显然有：

这样只需要 N次乘法+N次加法

//多项式求值

//N次乘法+N次加法搞定，伟大的改进！

function horner(A, x) {    var n = A.length - 1    var p = A[n];    for (var j = 0; j < n; j++) {        p = x * p + A[n - j - 1];    }    return p;}//计算: y(2) = 3x^3 + 2x^2 + x -1;var A = [-1, 1, 2, 3];var y = horner(A, 2);alert(y);//33 

多数问题：

一个元素个数为n的数组，希望快速找出其中大于出现次数>n/2的元素（该元素也称为多数元素）。通常可用于选票系统，快速判定某个候选人的票数是否过半。最优算法如下：

//找出数组A中“可能存在”的多数元素

function candidate(A, m) {    var count = 1, c = A[m], n = A.length - 1;    while (m < n && count > 0) {        m++;        if (A[m] == c) {            count++;        }        else {            count--;        }    }    if (m == n) {        return c;    }    else {        return candidate(A, m + 1);    }}

//寻找多数元素

//时间复杂度O(n)

function majority(A) {    var c = candidate(A, 0);    var count = 0;    //找出的c，可能是多数元素，也可能不是，    //必须再数一遍，以确保结果正确    for (var i = 0; i < A.length; i++) {        if (A[i] == c) {            count++;        }    }    //如果过半，则确定为多数元素    if (count > Math.floor(A.length / 2)) {        return c;    }    return null;}var m = majority([3, 2, 3, 3, 4, 3]);alert(m); 

以上算法基于这样一个结论：在原序列中去除两个不同的元素后，那么在原序列中的多数元素在新序列中还是多数元素

证明如下：

如果原序列的元素个数为n，多数元素出现的次数为x，则 x/n > 1/2

去掉二个不同的元素后，

a)如果去掉的元素中不包括多数元素，则新序列中 ，原先的多数元素个数/新序列元素总数 = x/(n-2) ，因为x/n > 1/2 ，所以 x/(n-2) 也必然>1/2

b)如果去掉的元素中包含多数元素，则新序列中 ，原先的多数元素个数/新序列元素总数 = (x-1)/(n-2) ，因为x/n > 1/2 =》 x>n/2 代入 (x-1)/(n-2) 中，

有 (x-1)/(n-2) > (n/2 -1)/(n-2) = 2(n-2)/(n-2) = 1/2

下一个问题：全排列

function swap(A, i, j) {    var t = A[i];    A[i] = A[j];    A[j] = t;}function println(msg) {    document.write(msg + "<br/>");}//全排列算法function perm(P, m) {    var n = P.length - 1;    if (m == n) {        //完成一个新排列时，输出        println(P);        return;    }    for (var j = m; j <= n; j++) {        //将起始元素与后面的每个元素交换        swap(P, j, m);        //在前m个元素已经排好的基础上        //再加一个元素进行新排列        perm(P, m + 1);        //把j与m换回来，恢复递归调用前的“现场"，        //否则因为递归调用前，swap已经将原顺序破坏了，        //导致后面生成排序时，可能生成重复        swap(P, j, m);    }}perm([1, 2, 3], 0);//1,2,3//1,3,2//2,1,3//2,3,1//3,2,1//3,1,2 

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分治法：

要点：将问题划分成二个子问题时，尽量让子问题的规模大致相等。这样才能最大程度的体现一分为二，将问题规模以对数折半缩小的优势。

//打印输出(调试用)function println(msg) {    document.write(msg + "<br/>");}//数组中i,j位置的元素交换(辅助函数)function swap(A, i, j) {    var t = A[i];    A[i] = A[j];    A[j] = t;}//寻找数组A中的最大、最小值(分治法实现)function findMinMaxDiv(A, low, high) {    //最小规模子问题的解    if (high - low == 1) {        if (A[low] < A[high]) {            return [A[low], A[high]];        }        else {            return [A[high], A[low]];        }    }    var mid = Math.floor((low + high) / 2);    //在前一半元素中寻找子问题的解    var r1 = findMinMaxDiv(A, low, mid);    //在后一半元素中寻找子问题的解    var r2 = findMinMaxDiv(A, mid + 1, high);    //把二部分的解合并     var x = r1[0] > r2[0] ? r2[0] : r1[0];    var y = r1[1] > r2[1] ? r1[1] : r2[1];    return [x, y];}var r = findMinMaxDiv([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], 0, 7);println(r); //1,8

//二分搜索(分治法实现)

//输入：A为已按非降序排列的数组

//x 为要搜索的值

//low,high搜索的起、止索引范围

//返回：如果找到，返回下标，否则返回-1

function binarySearchDiv(A, x, low, high) {    if (low > high) {        return -1;    }    var mid = Math.floor((low + high) / 2);    if (x == A[mid]) {        return mid;    }    else if (x < A[mid]) {        return binarySearchDiv(A, x, low, mid - 1);    }    else {        return binarySearchDiv(A, x, mid + 1, high);    }}var f = binarySearchDiv([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], 4, 0, 6);println(f); //3 ```//将数组A，以low位置的元素为界，划分为前后二半//n为待处理的索引范围上限function split(A, low, n) {    if (n >= A.length - 1) {        n = A.length - 1;    }    var i = low;    var x = A[low];    //二个指针一前一后“跟随”，    //最前面的指针发现有元素比分界元素小时，换到前半部    //后面的指针再紧跟上，“夫唱妇随”一路到头    for (var j = low + 1; j <= n; j++) {        if (A[j] <= x) {            i++;            if (i != j) {                swap(A, i, j);            }        }    }    //经过上面的折腾后，除low元素外，其它的元素均以就位    //最后需要把low与最后一个比low位置小的元素交换，    //以便把low放在分水岭位置上    swap(A, low, i);    return [A, i];}var A = [5, 1, 2, 6, 3];var b = split(A, 0, A.length - 1);println(b[0]); //3,1,2,5,6 ```//快速排序  function quickSort(A, low, high) {    var w = high;    if (low < high) {        var t = split(A, low, w); //分治思路，先分成二半        w = t[1];        //在前一半求解        quickSort(A, low, w - 1);        //在后一半求解        quickSort(A, w + 1, high);    }}var A = [5, 6, 4, 7, 3];quickSort(A, 0, A.length - 1);println(A); //3,4,5,6,7 

split算法的思想应用：

设A[1..n]是一个整数集，给出一算法重排数组A中元素，使得所有的负整数放到所有非负整数的左边，你的算法的运行时间应当为Θ(n)

function sort1(A) {    var i = 0, j = A.length - 1;    while (i < j) {        if (A[i] >= 0 && A[j] >= 0) {            j--;        }        else if (A[i] < 0 && A[j] < 0) {            i++;        }        else if (A[i] > 0 && A[j] < 0) {            swap(A, i, j);            i++;            j--;        }        else {            i++;            j--;        }    }}function sort2(A) {    if (A.length <= 1) { return; }    var i = 0;    for (var j = i + 1; j < A.length; j++) {        if (A[j] < 0 && A[i] >= 0) {            swap(A, i, j);            i++;        }    }}var a = [1, -2, 3, -4, 5, -6, 0];sort1(a);println(a);//-6,-2,-4,3,5,1,0var b = [1, -2, 3, -4, 5, -6, 0];sort2(b);println(b);//-2,-4,-6,1,5,3,0