二项堆 Binomial Heap 与 二项树 Binomial Tree 性质探究（主要针对归并 merge 操作）

今天在做ADS的project4（之前完成了project2：倒排索引 Inverted file index，project3：二叉堆 binary heap、左倾堆 leftist heap、斜堆 skew heap 的归并 merge）：二项堆 binomial heap 与斐波那契堆 Fibonacci Heap 的节点值减小 DecreaseKey、归并 merge 与删除最小结点 DeleteMin。

发现merge之后的二项堆，并不是同level的结点都被链住。存在sibling为0但仍有同级结点的结点。导致一些有趣现象。于是开始计算：

一、指数为n的二项树，其中未链的条数？

以下所涉递归，均取n>1，防初始值异常。

T(n) = 2T(n-1) + (n+1) - 3

注意，n+1是level数，而3是无断链的层数（即头两层，以及底层）。

二、指数为n的二项树，其中sibling为0的结点数？

P(n) = 2P(n-1) - 1

此式可以考虑combine时（同指数merge），仅使那个被作为儿子的root的sibling指针非0。

也可以逆向考虑其补：~P(n) = 2~P(n) + 1。加1是因为，combine时多出一个sibling。这与正向考虑时一样。

其中，~P(n) = 2^n - P(n)

三、指数为n的二项树，第i层中，sibling为0的结点数？

这个问题，我没有整理出递归式，仅附思路，供读者自己写罢。

（一）观察到，每次merge，所有未链将在本层存留一份，再在下一层复制一份。以文章底部附图为例，考虑n=4。我们可以写出如下的未链记录：

2,2;3,2

表示第2层有2条未链；第3层有2条未链。

那么当n=5时，我们可以记录：

2,2;3,2;3,2;4,2

前两项，分别是n=4的2,2项的本层保留、下层复制；后两项，分别是n=4的3,2项的本层保留、下层复制。

（二）这并没有结束。merge后，将新增(n+1)-3条新链。注意合并（一）与（二）的结果，作为完整的新层的未链记录。

四、我们假设，每条未链将同级结点分割成若干断链。则：

1. 如上所述，对任意n>=2，头两层及底层，仅是一条整链。

2. 从顶至底（from root to leave），第一个有断链的层，其断链长度从左至右：n-1, n-2, ... ,1

3. 从底至顶，各层第一条断链的长度：1,2,3,...,n-1,n,1

4. （从左至右）（第i层各断链长度） ||(连接) （第i+1层各断链长度） 得：第n+1棵树的第i+1层各断链长度。

五、除root，有child等价于有sibling。

这些问题探究之后，还顺便复习了等差等比数列。猜测ADS考试会有所涉及。

后天参加C程校赛，祝精神正常。