hihocode 第九十二周 数论一·Miller-Rabin质数测试

1.long  *  long 快速幂会爆  用快速乘+快速幂 或者大数模板.

2.解题思路 Miller_Rabin 测试

      第一步: 费马小定理

费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

     第二步: 二次探测

如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，另u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2^170，得到2^170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。

将这两条定理合起来，也就是最常见的Miller-Rabin测试。

3.一次mr测试的错误率是1/4; n 次是4^-(n);

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <cstdlib>using namespace std;typedef long long int ll;ll q[100];ll quick_add(ll x,ll n,ll m){    ll ans=0;    ll b=x%m;    while(n)    {        if(n&1)        {            ans=(ans+b)%m;        }        b=(b+b)%m;        n>>=1;    }    return ans%m;}ll quick_mod(ll x,ll n,ll m){    ll b=x%m;    ll ans=1;    if(n==0) return 1;    while(n)    {        if(n&1)        {            ans=quick_add(ans,b,m);        }        b=quick_add(b,b,m);        n>>=1;    }    return ans;}bool  MR(ll x){    ll u=x;    if(u%2==0 || u==1) return false;    if(u==2) return true;    u=x-1;    while(u%2==0)    {        u=u/2;    }    //cout<<"safs"<<u<<endl;    for(int i=0; i<10; i++)    {        ll a=rand()%(x-2)+2;        ll h=u;        a=quick_mod(a,u,x);        //cout<<a<<"fbdf"<<endl;        while(h<x)        {            ll b=quick_mod(a,2,x);            //cout<<b<<endl;            if(b==1)            {                if(a!=1 && a!=x-1)                {                    return false;                }            }            a=b;            h=h*2;        }        if(a!=1) return false;    }    return true;}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    for(int i=0; i<T; i++)    {        scanf("%lld",&q[i]);    }    for(int i=0; i<T; i++)    {        if(MR(q[i])) printf("Yes\n");        else printf("No\n");    }    return 0;}

hiho 的伪码讲解

Miller-Rabin(n):If (n <= 2) ThenIf (n == 2) ThenReturn TrueEnd IfReturn FalseEnd IfIf (n mod 2 == 0) Then// n为非2的偶数，直接返回合数Return FalseEnd If// 我们先找到的最小的a^u，再逐步扩大到a^(n-1)u = n - 1; // u表示指数while (u % 2 == 0) u = u / 2End While // 提取因子2For i = 1 .. S // S为设定的测试次数a = rand_Number(2, n - 1) // 随机获取一个2~n-1的数ax = a^u % nWhile (u < n) // 依次次检查每一个相邻的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否满足二次探测定理y = x^2 % n If (y == 1 and x != 1 and x != n - 1)// 二次探测定理// 若y = x^2 ≡ 1(mod n)// 但是 x != 1 且 x != n-1Return FalseEnd Ifx = yu = u * 2 End WhileIf (x != 1) Then// Fermat测试Return FalseEnd IfEnd ForReturn True