[LeetCode]4. Median of Two Sorted Arrays

4. Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

分析

寻找两个已排序序列的中位数，中位数就是一个序列中位置中间的那个数，当元素个数为奇数时，中位数就是第n/2个元素；当元素个数为偶数时，中位数就是第n/2个元素和第 n/2 + 1个元素的平均值；

最直接的方法就是合并两个有序序列，然后找到第k大元素。这种方法的时间复杂度为O(k).

另一种法就是利用二分法思想（排序后是序列都很有可能利用二分法思想）。我们可以考虑从k入手，如果每次都可以删除一个一定在第k大元素之前的元素，那么需要进行k次。但是如果一次删除一半呢？优于两个序列是有序的，我么可以充分利用这部分信息。

假设A序列和B序列的元素个数都大于k/2，比较A[K/2-1]和B[K/2-1]有三种情况：
A[K/2-1] = B[K/2-1]
A[K/2-1] > B[K/2-1]
A[K/2-1] < B[K/2-1]
如果A[K/2-1] < B[K/2-1]，则A[0]到A[K/2-1]肯定在A、B集合的前k大元素范围，因此可以放心删除A序列里的这k/2个元素；
当A[K/2-1] > B[K/2-1]时，可以删除B序列里的前k/2个元素
当A[K/2-1] > B[K/2-1]时，说明找到了第`k大元素。

因此可以通过递归函数来解决，递归的终止条件就是：
当A或B为空时，直接返回B[k-1]或者A[k-1]
当k=1时，返回min(A[0],B[0])
当A[K/2-1] = B[K/2-1]时，返回A[K/2-1]或者 B[K/2-1]

源码

方法1：合并排序然后遍历

    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {        double ret = 0;        int total = nums1.size() + nums2.size();        int m = 0, n = 0, count = 0;        int k = total / 2;        int a = 0, b = 0, tmp = 0;        while(count <= k) {            if(m >= nums1.size()) {                tmp = nums2[n];                n++;            } else if(n >= nums2.size()) {                tmp = nums1[m];                m++;            } else if(nums1[m] <= nums2[n]) {                tmp = nums1[m];                m++;            } else {                tmp = nums2[n];                n++;            }            count++;            a = b;            b = tmp;        }        if(total % 2 == 0) {            return (a + b) / 2.0;        } else {            return b;        }    }

方法二：二分递归

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k){    if (m > n) // 总是假设a数组比b数组短        return findKth(b, n, a, m, k);    if (m == 0) // 短数组a的元素个数为0时直接返回长数组b中的第k大元素        return b[k - 1];    if (k == 1) // k=1时直接返回两个数组中首元素中的较小值        return min(a[0], b[0]);    //将k拆成两部分    int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;    if (a[pa - 1] < b[pb - 1]) //a[0]...a[pa-1]一定在第k大元素的前面，后面只需要考察a[pa]...        return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);    else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])//b[0]...b[pb-1]一定在第k大元素的前面，后面只需要考察b[pb]...        return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);    else        return a[pa - 1];}double _findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n){    int total = m + n;    if (total & 0x1) //元素个数为奇数        return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);    else // 元素个数为偶数        return (findKth(A, m, B, n, total / 2)                + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;}class Solution{public:    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {        return _findMedianSortedArrays(&nums1[0], nums1.size(), &nums2[0], nums2.size());    }}