理解梯度下降法

梯度下降法是求解无约束最优问题中常用到的一种学习方法，形式简单，属于一阶收敛，在空间进行线性搜索。在前面讲到的逻辑斯蒂回归模型中，就常用到梯度下降法来学习参数。
首先给出问题定义（统计学习方法附录A）：
假设f(x)是Rn上具有一阶连续偏导的函数，求解的目标问题如下：

minx∈Rnf(x)

x∗表示目标函数f(x)的极小值点。
梯度下降法通过迭代的方法不断更新x的值，直至x离极小值点x∗的距离满足条件。由于函数的负梯度方向是函数值下降最快的方向，因此梯度下降法选择在负梯度方向更新x的值。

若第k次迭代时x的值为x(k)，在该点处对f(x)一阶泰勒展开，得到：

f(x)=f(x(k))+gTk(x−x(k))

其中，gk为在x(k)点的梯度。有如下等式来对x(k+1)更新：

x(k+1)=x(k)+λkpk

其中，pk=−gk是该点的负梯度，表示更新x时的搜索方向；λk是步长，在梯度下降法使用中是最需要考虑的一个参数，要求：

f(x(k)+λkpk)=minλ≥0f(x(k)+λpk)

在实际运用中最简单方法是通过多次实验选取最合适的步长作为定长来使用。
综上，梯度下降法的步骤如下：
（1）、取初始值x(0)，置k=0;
（2）、计算f(x(k));
（3）、计算梯度gk=g(x(k))，当||gk||<ϵ时，说明已经收敛，停止迭代，记x∗=x(k)；否则，令pk=−gk;
（4）、使用等式x(k+1)=x(k)+λkpk来更新x，并求f(x(k+1))，当||f(x(k+1))−f(x(k))||<ϵ或||x(k+1)−x(k)||<ϵ时，停止迭代，记x∗=x(k+1)；
（5）、否则，置k=k+1，转（3）。

梯度下降法通常在离极值点远的地方下降很快，但在极值点附近时会收敛速度很慢。并且，在目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局最优解。而在一般情况下，梯度下降法不保证求得全局最优解。

示例
若对一个线性数据集通过梯度下降法求得线性方程的参数theta,即上面的xk。设在训练数据上的损失函数为：

J(θ)=12m∑i=1m(hθ(xi)−yi)2

其中，hθ(x)=θ⋅x,θ为增广向量
对J(θ)求偏导，得：
J′(θ)=12m×2∑mi=1(hθ(xi)−yi)×h′θ(xi)
=1m∑mi=1(hθ(xi)−yi)×xi
用式子
θj←θj−λ⋅J′(θ)
对θj进行更新。
下面是对一个单变量数据集使用梯度下降法得出的线性方程：