求逆序数

转载：

树状数组，具体的说是 离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题.

算法的大体流程就是：

1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，

2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。

算法详细解释：

1.解释为什么要有离散的这么一个过程？

    刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。

    还有只有500000个数字，何必要离散化呢？

    刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，

    用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，

    不是单纯的建立在输入数组之上。

    比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，

    下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

    现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，

    所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。

    这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，

    使得离散化的结果可以更加的密集。

2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？

   离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；

   因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；

   而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；

   ①当然用map可以建立，效率可能低点；

   ②这里用一个结构体

   struct Node

   {

      int v,ord;

   }p[510000];和一个数组a[510000];

   其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；

   此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；

   for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;

   然后a数组就存储了原来所有的大小信息；

   比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；

   具体的过程可以自己用笔写写就好了。

3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？

    如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，

    每插入一个数， 统计比他小的数的个数，

    对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),

    其中 i 为当前已经插入的数的个数，

    getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数,

    i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数， 即逆序的个数

    但如果数据比较大，就必须采用离散化方法

    假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};

在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1，输入5，   调用upDate(5, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

0 0 0 0 1

计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，

现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。

2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1

1 2 3 4 5

0 1 0 0 1

计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，

现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。

3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 0 1

计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，

现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。

4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 1 1

计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，

现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。

5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，

现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。

6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数

分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),

后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()

外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).

最后总的还是O(NlogN).

题目描述

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

现在，给你一个N个元素的序列，请你判断出它的逆序数是多少。

比如 1 3 2 的逆序数就是1。

输入

第一行输入一个整数T表示测试数据的组数（1<=T<=5)
每组测试数据的每一行是一个整数N表示数列中共有N个元素（2〈=N〈=1000000）
随后的一行共有N个整数Ai(0<=Ai<1000000000)，表示数列中的所有元素。

数据保证在多组测试数据中，多于10万个数的测试数据最多只有一组。

输出

输出该数列的逆序数

样例输入

221 131 3 2

样例输出

01

  

归并排序

　　直接计数法虽然简单直观，但是其时间复杂度是 O(n^2)。一个更快（但稍复杂）的计算方法是在归并排序的同时计算逆序数。下面这个 C++ 编写的例子演示了计算方法。函数 mergeSort() 返回序列的逆序数。

　　int is1[n],is2[n];// is1为原数组，is2为临时数组，n为个人定义的长度

　　long mergeSort(int a,int b)// 下标，例如数组int is[5]，全部排序的调用为mergeSort(0,4)

　　{

　　if(a<b)

　　{

　　int mid=(a+b)/2;

　　long count=0;

　　count+=mergeSort(a,mid);

　　count+=mergeSort(mid+1,b);

　　count+=merge(a,mid,b);

　　return count;

　　}

　　return 0;

　　}

　　long merge(int low,int mid,int high)

　　{

　　int i=low,j=mid+1,k=low;

　　long count=0;

　　while(i<=mid&&j<=high)

　　if(is1[i]<=is1[j])// 此处为稳定排序的关键，不能用小于

　　is2[k++]=is1[i++];

　　else

　　{

　　is2[k++]=is1[j++];

　　count+=j-k;// 每当后段的数组元素提前时，记录提前的距离

　　}

　　while(i<=mid)

　　is2[k++]=is1[i++];

　　while(j<=high)

　　is2[k++]=is1[j++];

　　for(i=low;i<=high;i++)// 写回原数组

　　is1[i]=is2[i];

　　return count;

　　}

//树状数组

 #include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=1000005;int n;int aa[maxn],c[maxn];struct node{int v,order;}in[maxn];int lowbit(int x){return x&(-x);}void update(int t,int value){int i;for(i=t;i<=n;i+=lowbit(i)){c[i]+=value;}}int getsum(int x){int i;int temp=0;for(i=x;i>=1;i-=lowbit(i)){temp+=c[i];}return temp;}bool cmp(node s1,node s2){    if(s1.v!=s2.v)    return s1.v<s2.v;    return s1.order<s2.order;//由于一组数据中有相同数据，故需稳定排序}int main(){int i,j,t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&in[i].v);in[i].order=i;}sort(in+1,in+n+1,cmp);for(i=1;i<=n;i++) aa[in[i].order]=i;//树状数组求逆序数memset(c,0,sizeof(c));long long ans=0;for(i=1;i<=n;i++){update(aa[i],1);ans+=(i-getsum(aa[i]));} printf("%lld\n",ans);}return 0;}