HDU 5663 （莫比乌斯反演）

来源：互联网发布：java报表编辑：程序博客网时间：2024/06/05 16:31

分析：

这道题就是一道公式推导题，我再来推一遍公式：

设f(x)函数：

f (x) = {1, 0, x 是 完 全 平 方 数 否 则

则ANS=n×m−∑ni=1∑mj=1f(gcd(i,j))这个时候只需要维护后面一块就可以了

T E S T = \sum i = 1 n \sum j = 1 m f (g c d (i, j)) = \sum i = 1 n \sum j = 1 m \sum d = g c d (i, j) f (d) = \sum d = 1 m i n (n, m) f (d) \sum i = 1 n \sum j = 1 m (g c d (i, j) = d) = \sum d = 1 m i n (n, m) f (d) \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ m d ⌋ (g c d (i, j) = 1) = \sum d = 1 m i n (n, m) f (d) \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ m d ⌋ \sum t | g c d (i, j) μ (t) = \sum d = 1 m i n (n, m) f (d) \sum t = 1 m i n (⌊ n d ⌋, ⌊ m d ⌋) μ (t) \times ⌊ n d t ⌋ \times ⌊ m d t ⌋ ， = \sum g = 1 m i n (n, m) ⌊ n g ⌋ \times ⌊ m g ⌋ \sum d | g μ (d) \times f (g d) 使 g = d t

这个时候就搞定了，后面一块

∑g∑d|gμ(d)×f(gd)维护这个式子和，复杂度是

o(nlogn)但是还可降低：

∑g∑x2|gμ(x2)×f(gx2)⟹∑x∑x2|gμ(d)，这个时候复杂度就是

o(n)（复杂度计算就是平方的倒数和，泰勒展开）。
然后维护

∑g∑d|gμ(d)×f(gd)的前缀和，就可以分块做了，分块的复杂度

o(n√)

总的复杂度是o(n+Tn√)

代码：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>#include <algorithm>#include <set>#include <map>#include <queue>#include <vector>#include <string>using namespace std;typedef long long LL;typedef vector <int>    VI;typedef pair <int,int>  PII;#define FOR(i,x,y)  for(int i = x;i < y;++ i)#define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;-- i)#define pb  push_back#define mp  make_pair#define fi  first#define se  second const int maxn = 10000010;int mu[maxn],prime[maxn];bool check[maxn];void Mobius(){    memset(check,false,sizeof(check));    prime[0] = 0;    mu[1] = 1;    FOR(i,2,maxn){        if(!check[i])   {mu[i] = -1;prime[++prime[0]] = i;}        FOR(j,1,prime[0]+1){            if(i*prime[j] > maxn)  break;            check[i*prime[j]] = true;            if(i% prime[j] == 0)    {mu[i*prime[j]] = 0;break;}            else    {mu[i*prime[j]] = -mu[i];}        }    }}LL sum[maxn];int n,m;LL calc(int x,int y){    LL ans = 0;    int i = 1;    while(i <= x){        int p = x/i,q = y/i;        int j = min(x/p,y/q);        ans += (LL)p*q*(sum[j]-sum[i-1]);        i = j+1;    }    return ans;}int main(){    Mobius();    memset(sum,0,sizeof(sum));    FOR(i,1,maxn){        int k = i*i;        if(k >= maxn)   break;        for(int j = k;j < maxn;j += k)  sum[j] += mu[j/k];    }    FOR(i,1,maxn)   sum[i] += sum[i-1];    int T;  scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d%d",&n,&m);        if(n < m)   swap(n,m);        printf("%I64d\n",(LL)n*m-calc(m,n));    }    return 0;}

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