AP聚类算法（1）

AP聚类算法

    

1.分类与聚类

1.1 分类算法简介

        分类(classification )是找出描述并区分数据类或概念的模型(或函数)，以便能够使用模型预测类标记未知的对象类。

在分类算法中输入的数据，或称训练集（Training Set），是一条条的数据库记录（Record）组成的。每一条记录包含若干条属性（Attribute），组成一个特征向量。训练集的每条记录还有一个特定的类标签（Class Label）与之对应。该类标签是系统的输入，通常是以往的一些经验数据。一个具体样本的形式可为样本向量:(v1, v2, ... , vn; c)。在这里vi表示字段值,c表示类别。 

        分类的目的是：分析输入的数据，通过--在训练集中的数据表现出来的特性，为每一个类找到一种准确的描述或者模型。这种描述常常用谓词表示。由此生成的类描述用来对未来的测试数据进行分类。尽管这些未来的测试数据的类标签是未知的，我们仍可以由此预测这些新数据所属的类。注意是预测，而不能肯定。我们也可以由此对数据中的每一个类有更好的理解。也就是说：我们获得了对这个类的知识。

        下面对分类流程作个简要描述：

训练：训练集——>特征选取——>训练——>分类器

分类：新样本——>特征选取——>分类——>判决

常见的分类算法有：决策树、KNN法(K-Nearest Neighbor)、SVM法、VSM法、Bayes法、神经网络等。

1.2 聚类算法简介

        聚类(clustering)是指根据“物以类聚”的原理，将本身没有类别的样本聚集成不同的组，这样的一组数据对象的集合叫做簇，并且对每一个这样的簇进行描述的过程。

与分类规则不同，进行聚类前并不知道将要划分成几个组和什么样的组，也不知道根据哪些空间区分规则来定义组。

        它的目的是使得属于同一个簇的样本之间应该彼此相似，而不同簇的样本应该足够不相似。

聚类分析的算法可以分为：划分法（Partitioning Methods）、层次法（Hierarchical Methods）、基于密度的方法（density-based methods）、基于网格的方法（grid-based methods）、基于模型的方法（Model-Based Methods）。

经典的K-means和K-centers都是划分法。

 分类与聚类的区别

        聚类分析也称无监督学习或无指导学习，聚类的样本没有标记，需要由聚类学习算法来自动确定; 在分类中，对于目标数据库中存在哪些类是知道的，要做的就是将每一条记录分别属于哪一类标记出来。聚类学习是观察式学习，而不是示例式学习。

可以说聚类分析可以作为分类分析的一个预处理步骤。

2.K-MEANS算法

        k-means 算法接受输入量 k ；然后将n个数据对象划分为 k个聚类以便使得所获得的聚类满足：同一聚类中的对象相似度较高；而不同聚类中的对象相似度较低。簇的相似度是关于簇中对象的均值度量，可以看作簇的质心(centriod)或重心(center of gravity)。

        k-means 算法的工作过程说明如下：首先从n个数据对象任意选择 k 个对象作为初始聚类中心；而对于所剩下其它对象，则根据它们与这些聚类中心的相似度（距离），分别将它们分配给与其最相似的（聚类中心所代表的）聚类；然后再计算每个所获新聚类的聚类中心（该聚类中所有对象的均值）；不断重复这一过程直到标准测度函数开始收敛为止。一般都采用均方差作为标准测度函数.，其定义如下：

             

        其中，E是数据集中所有对象的平方误差和，p是空间中的点，表示给定对象，是簇的均值（p和都是多维的）。换句话说，对于每个簇中的每个对象，求对象到其簇中心距离的平方，然后求和。这个准则试图使生成的k个结果簇尽可能的紧凑和独立。

例1:我们在二维空间中随机的生成20个数据点，将聚类数目指定为5个，并随机生成一个聚类中心(用“×”来标注)，根据对象与簇中心的距离，每个对象分成于最近的簇。初始示例图如下： 

                                                     

图1.随机生成的数据点及初始聚类中心示例图

下一步，更新簇中心。也就是说，根据簇中的当前对象，重新计算每个簇的均值。使用这些新的簇中心，将对象重新分成到簇中心最近的簇中。

不断迭代上面的过程，直到簇中对象的重新分布不再发生，处理结束。最终的聚类结果示例图如下：

 

图2. 最终聚类结果示例图

从上图中我们可以看到，最终的聚类结果受初始聚类中心的影响很大，而且最后的簇质心点不一定是在数据点上。

K均值算法试图确定最小化平方误差的k个划分。当结果簇是紧凑的，并且簇与簇之间明显分离时，它的效果较好。对处理大数据集，该算法是相对可伸缩的和有效率的，因为它的计算复杂度是O（nkt），其中n是对象的总数，k是簇的个数，t 是迭代的次数。通常地，k<<n并且t<<n。该方法经常终止于局部最优解。

然而，只有当簇均值有定义的情况下k均值方法才能使用。在某些应用中，例如当涉及具有分类属性的数据时，均值可能无定义。用户必须事先给出要生成的簇的数目k可以算是该方法的缺点。K均值方法不适合于发现非凸形状的簇，或者大小差别很大的簇。此外，它对于噪声和离群点数据是敏感的，因为少量的这类数据能够对均值产生极大的影响。

3.AP算法

        Affinity Propagation (AP) 聚类是最近在Science杂志上提出的一种新的聚类算法。它根据N个数据点之间的相似度进行聚类,这些相似度可以是对称的,即两个数据点互相之间的相似度一样(如欧氏距离);也可以是不对称的,即两个数据点互相之间的相似度不等。这些相似度组成N×N的相似度矩阵S(其中N为有N个数据点)。AP算法不需要事先指定聚类数目,相反它将所有的数据点都作为潜在的聚类中心,称之为exemplar。

        以S矩阵的对角线上的数值s (k, k)作为k点能否成为聚类中心的评判标准,这意味着该值越大,这个点成为聚类中心的可能性也就越大,这个值又称作参考度p ( preference) 。聚类的数量受到参考度p的影响,如果认为每个数据点都有可能作为聚类中心,那么p就应取相同的值。如果取输入的相似度的均值作为p的值,得到聚类数量是中等的。如果取最小值,得到类数较少的聚类。AP算法中传递两种类型的消息, (responsiility)和(availability) 。r(i,k)表示从点i发送到候选聚类中心k的数值消息,反映k点是否适合作为i点的聚类中心。a(i,k)则从候选聚类中心k发送到i的数值消息,反映i点是否选择k作为其聚类中心。r (i, k)与a (i, k)越强,则k点作为聚类中心的可能性就越大,并且i点隶属于以k点为聚类中心的聚类的可能性也越大。AP算法通过迭代过程不断更新每一个点的吸引度和归属度值,直到产生m个高质量的exemplar,同时将其余的数据点分配到相应的聚类中。

        在这里介绍几个文中常出现的名词：

exemplar：指的是聚类中心。

similarity：数据点i和点j的相似度记为S(i，j)。是指点j作为点i的聚类中心的相似度。一般使用欧氏距离来计算，如－|| ||。文中，所有点与点的相似度值全部取为负值。因为我们可以看到，相似度值越大说明点与点的距离越近，便于后面的比较计算。

preference：数据点i的参考度称为P(i)或S(i,i)。是指点i作为聚类中心的参考度。一般取S相似度值的中值。

Responsibility:R(i,k)用来描述点k适合作为数据点i的聚类中心的程度。

Availability:A(i,k)用来描述点i选择点k作为其聚类中心的适合程度。

两者的关系如下图：

图3. 数据点之间传递消息示意图

下面是R与A的计算公式：

R(i,k)=S(i,k)-max{A(i,j)+S(i,j)}(j{1,2,……,N,但j≠k})          (2)

A(i,k)=min{0,R(k,k)+ (j{1,2,……,N,但j≠i且j≠k})                (3)

R(k,k)=P(k)-max{A(k,j)+S(k,j)} (j{1,2,……,N,但j≠k})       (4)

由上面的公式可以看出，当P(k)较大使得R(k, k)较大时, A(i, k) 也较大, 从而类代表k作为最终聚类中心的可能性较大; 同样, 当越多的P(i)较大时, 越多的类代表倾向于成为最终的聚类中心。 因此, 增大或减小P可以增加或减少AP输出的聚类数目。

Damping factor(阻尼系数):主要是起收敛作用的。文中讲述，每次迭代，吸引度和归属度要与上一次的和进行加权更新。公式如下：

其中，。

AP算法的具体工作过程如下：先计算N个点之间的相似度值，将值放在S矩阵中，再选取P值(一般取S的中值)。设置一个最大迭代次数(文中设默认值为1000)，迭代过程开始后，计算每一次的R值和A值，根据R(k,k)+A(k,k)值来判断是否为聚类中心(文中指定当(R(k,k)+A(k,k))＞0时认为是一个聚类中心)，当迭代次数超过最大值( 即maxits值)或者当聚类中心连续多少次迭代不发生改变( 即convits值)时终止计算(文中设定连续50次迭代过程不发生改变是终止计算)。

例2：我们在二维空间中随机的生成20个数据点，将P值设为S矩阵的中值，将convits值设置成20, maxits值设置成1000，用AP算法进行计算，最终聚类结果如下图：

 

图4. AP算法迭代过程示意图

 

图5 最终聚类结果示意图

        在AP 算法中，迭代次数和聚类数目主要受到两个参数的影响。其中，聚数数目主要受preference值（负值）的影响。下面对同一组数据集(200个数据点)进行计算，取不同的preference值得到的聚类数目如下：

表1.不同的preference得到的聚类数目比较

        由表1，我们可以看出，当preference越大时，得到的聚类数目越多。

        当取不同的lam（阻尼系数）值时，迭代次数和迭代过程中数据的摆动都会有很大的不同，下面同样是对同一组数据集(200个数据点)进行计算，取有代表性的两个值（0.5和0.9）进行比较结果如下：

 

图6 lam取0.9时的迭代示意图

 

图 7.lam取0.5时的迭代示意图

        从上面两个图对比中我们可以发现，当lam值越小时，迭代次数会减少，但是迭代过程中net Similarity值波动会很大，当要聚类的数据点比较大时，这样难于收敛。当lam值较大时，迭代次数会增加，但是总的net Similarity比较平稳。

        根据式（5）和式（6），我们也可以看到，每一次迭代的和受到lam的影响。当lam取较小的值时，和相比上一次迭代的和会发生较大的变化，这也是为什么net Similarity值摆动比较大的原因;当lam取较大值时，和和上一次迭代的和比较接近，这也是导致迭代次数比较多的原因。

正是因为如此，有人提出了自适应仿射传播聚类（在文献2中可以看到），文中主要提出了如何根据数据集自动生成preference值和lam值的方法。

4. k-means算法与AP算法比较

        例3：下面，我们随机在二维空间中生成50个数据点，分别用上面讲述的两种聚类算法进行聚类计算。

        我们先进行AP算法聚类，将生成的聚类数量用于k-means算法中，将结果示意图进行比较，具体结果如下：

 

图 8.AP算法迭代过程

 

图9.AP算法最终计算结果

 

图10. k-means算法初始聚类中心示意图

 

图11.k-means算法最终聚类结果

5.总结与展望

        k-means算法对于离散和噪声数据比较敏感，对于初始聚类中心的选择很关键，因为初始聚类中心选择的好坏直接影响到聚类结果，而且这个算法要求进行聚类时输入聚类数目，这也可以说是对聚类算法的一种限制。不过，这种算法运行速度相对于AP算法要快一些，因此，对于那些小而且数据比较密集的数据集来说，这种聚类算法还是比较好的。

       AP算法对于P值的选取比较关键，这个值的大小，直接影响都最后的聚类数量。值越大，生成的聚类数越多，反之如此。而且，那个阻尼系数(lam)  迭代也是很关键的。在文献[2]中有人提及，此算法可能会出现数据震荡现象，即迭代过程中产生的聚类数不断发生变化不能收敛。增大lam可消除震荡现象。但根据式[5]和式[6]来看，一味的增大lam会使R和A的更新变的缓慢，增加了计算时间。因此，如何选取一个合适lam的来进行计算也成了一个提升算法运行速度的重要因素。

将AP算法运用于图像检索系统中来进行初始分类，我觉得挺有用的。这个想法还有待实现。

6. 参考文献

[1]  Frey B J, Dueck D. Clustering by passing messages between data points. Science, 2007, 315(5814): 972~976.

[2] 王开军 张军英等 自适应仿射传播聚类 自动化学报 2007年12月  第33 卷第12 期

[3] Jiawei Han Micheline Kamber 范明 孟小峰 译 数据挖掘概念与技术 机械工业出版社 2008年 251~265.