HDU 1098 Ignatius's puzzle(数学归纳题or费马小定理)
来源:互联网 发布:最好广告过滤软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 18:58
Ignatius's puzzle
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 8427 Accepted Submission(s): 5843
Problem Description
Ignatius is poor at math,he falls across a puzzle problem,so he has no choice but to appeal to Eddy. this problem describes that:f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x,input a nonegative integer k(k<10000),to find the minimal nonegative integer a,make the arbitrary integer x ,65|f(x)if
no exists that a,then print "no".
no exists that a,then print "no".
Input
The input contains several test cases. Each test case consists of a nonegative integer k, More details in the Sample Input.
Output
The output contains a string "no",if you can't find a,or you should output a line contains the a.More details in the Sample Output.
Sample Input
111009999
Sample Output
22no43
题解:
题目大意:方程f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;输入任意一个数k,是否存在一个数a,对任意x都能使得f(x)能被65整出。现假设存在这个数a ,因为对于任意x方程都成立所以,当x=1时f(x)=18+ka又因为f(x)能被65整出,故设n为整数可得,f(x)=n*65;即:18+ka=n*65;因为n为整数,若要方程成立则问题转化为,对于给定范围的a只需要验证,是否存在一个a使得(18+k*a)%65==0所以容易解得注意,这里a只需到65即可因为,当a==66时也就相当于已经找了一个周期了,所以再找下去也找不到适当的a了如果你非要证明的话,可以利用了取模过程与数的运算的次序上可交换原理简单证明一下本身看看就知道,这里就不证了。。
AC代码:
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#include<cmath>#include<string>#include<algorithm>using namespace std;#define MA 10010int main(){ int n,i,k; while(~scanf("%d",&k)) { for(i=1;i<=65;i++) { if((18+i*k)%65==0) { printf("%d\n",i); break; } } if(i>=66) printf("no\n"); } return 0;}
第二AC: 费马小定理
#include <cstdio>int main(){int k,flag;while (scanf("%d",&k)!=EOF){flag=0;for (int i=1;i<=65;i++){ if (i*k%13==8&&i*k%5==2) { flag=i; break; }} if (flag){printf("%d\n",flag);} else {printf("no\n"); }}}
这一题是一个好题,涉及到费马小定理!
什么是费马小定理呢?
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数,且Gcd(a,p)=1,那么 a(p-1) ≡1(mod p)。即:假如a是整数,p是质数,且a,p互质(即两者只有一个公约数1),那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。该定理是1636年皮埃尔·德·费马发现的。
所以我们要做的就是把这一题与费马小定理联系起来!
f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x转化成f(x)=(5*x^12+13*x^4+k*a)*x
1.当x=65的倍数时就行了;
2.当x=5的倍数时则需要(5*x^12+k*a)是13的倍数,由费马小定理可知,因为x是5的倍数所以(x^(13-1)%13==1),所以(5*x^12%13==5),所以只需要做到k*a%13==8即可!
3.同理可得当x=13的倍数时,只需要做到(13*x^4+k*a)是5的倍数由费马小定理可知,因为x是5的倍数所以(x^(5-1)%5==1),所以(13*x^(5-1)%5==3),所以只需要做到k*a%5==2即可
4.当x不是上面的特殊数时,则需要f(x)=(5*x^12+13*x^4+k*a)*x被65整除,也就是需要同时满足上面那两个条件!
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