POJ 3421X-factor Chains【分解质因子+组合数学】

来源：互联网发布：gta5精简优化版编辑：程序博客网时间：2024/05/23 15:10

X-factor Chains

Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536KTotal Submissions: 6329 Accepted: 1960

Description

Given a positive integer X, an X-factor chain of length m is a sequence of integers,

1 = X₀, X₁, X₂, …, X_m = X

satisfying

X_i < X_i₊₁ and X_i | X_i₊₁ where a | b means a perfectly divides into b.

Now we are interested in the maximum length of X-factor chains and the number of chains of such length.

Input

The input consists of several test cases. Each contains a positive integer X (X ≤ 2²⁰).

Output

For each test case, output the maximum length and the number of such X-factors chains.

Sample Input

23410100

Sample Output

1 11 12 12 24 6

Source

POJ Monthly--2007.10.06, ailyanlu@zsu

题意：

给出一个数字 n ，问 n 的因子组成的满足任意前一项都能整除后一项的序列的最大长度，以及所有不同序列的个数

题解：

最直观的考虑肯定是第一位是1，随后的数进行讨论

不难发现，按题目要求的话要求序列最长，那么就要尽量使得临近的数的比值尽量小，有个理论说（忘了哪个伟人说的了），任意一个比较大的合数，都能写成若干个素数的积，也就是说，肯定能找到某个数的一个非常小的不可分割的单位（最小素因子？）。

尝试如下：

给出一个数n，那么首先找到这个数最小的素因子x，作为序列的第二个元素，然后，假如，这个x*x 依然能被n 整除，那么x*x 此时肯定是能满足题意要求的最小值，依次判断x*x*x....一直到不满足题意，但是还没完.....不一定能完全除尽，那就要考虑次大的素因子了，继续像这样一直尝试，如果最终未除尽，剩余的部分也要算上，因为这个部分乘上倒数第二项，肯定是n，也就是仍然满足题意的！

表达能力有点水，上实例：

100

1，首项 1，没什么说的

2，为了尽量长，用最小的素数（2）去分割，得到2*2*25，那么就是说，另外可以构造出两项了 2，2*2(4)

3，发现不能整除了，那么寻找100的次小的素因子，找到5，把剩下的25 分解成5*5，那么就可以再构造出两项 2*2*5(20),2*2*5*5(100)

那么最后的结果就是1,2,4,20,100，按题意，最长的可能是 4

对于6怎么来的，组合数学有一条说：

n个物体一共有k 个，m种，其中每一种对应n1,n2,n3,n4....个，那么这些物品全排列的总数目是：

n！/（n1+n2+....+nm）！

个人也不懂，怎么推出来的.....

（以上纯属个人理解，错误之处指出还请大神不吝指出）

/*http://blog.csdn.net/liuke19950717*/#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;int main(){ll x[25]={1};for(ll i=1;i<25;++i){x[i]=i*x[i-1];}ll n;while(~scanf("%lld",&n)){ll ans=0,base=1;for(ll i=2;i*i<=n;++i){if(n%i==0){ll cnt=0;while(n%i==0){++cnt;n/=i;}ans+=cnt;base*=x[cnt];}}if(n>1){ans+=1;}printf("%lld %lld\n",ans,x[ans]/base);}return 0;}

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