【HNOI2016】序列

题意

给定长度为n的序列：a1,a2,...,an，q个询问，每个询问给一个区间，询问该区间的不同子序列的最小值之和。
n,q≤105

解法

    Philips Weng大神（%%%）用一个线段树存8个值的nlog2n做法过了，但我这里介绍一个nn−−√的莫队算法（T3也是莫队，D1T1也是分块，这是有多喜欢n−−√？）。
    我们假设当前求出了区间[l,r]的答案，现在要求[l,r+1]相对于[l,r]增加的答案（[l,r−1]的答案可以用原答案减去[l,r]相对于[l,r−1]增加的答案）。
    新增的答案为∑r+1i=lmin(i,r+1)，min(i,r+1)表示区间[i,r+1]中的最小值。有一个暴力的想法，维护一个从左至右单调递增的栈，然后扫一遍栈，算出贡献。但是每次构一次栈显然是不能接受的。
    于是我们可以预处理出一个从1开始的栈，当做到一个位置i时，栈中它底下一个的位置为序列中它左边第一个小于它的位置。此时的栈为1到i的一个单调递增序列，此时的贡献也很好统计，我们记为sum[i]（因为总贡献为相邻元素的贡献之和，所以它相当于栈中元素的贡献前缀和）。
    回到刚刚的问题，我们可以找到[l,r+1]中最小值的位置pos，对于i∈[l,pos],它们对增量的贡献为a[pos]；而对于i∈[pos+1,r+1]，我们相当于要跟原来一样构一个单调栈算一下贡献，但是我们发现，这个单调栈是我们预处理出的 到r+1的前缀单调栈的， 开头为pos的“后缀”。这个是显然的，因为a[pos]是该区间的最小值，所以pos一定会出现在到r+1的前缀单调栈中。所以这部分的贡献=sum[r+1]−sum[pos]。总贡献为(pos−l+1)∗a[pos]+sum[r+1]−sum[pos]。我们只要知道区间最小值的位置就能O(1)求出答案增量了，而这个就是经典的RMQ了。
    对于求[l−1,r]的增量也是相同的，只需求个倒序的单调栈即可。