图像处理的坐标变换必备的矩阵知识

6.5 矩阵的运算及其运算规则

一、矩阵的加法与减法

　　1、运算规则
　　设矩阵，，
　　则
　　　　　
　　简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！
　　注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．

　　2、 运算性质 （假设运算都是可行的）
　　满足交换律和结合律
　　交换律　 ；
　　结合律　 ．

二、矩阵与数的乘法

　　1、 运算规则
　　数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．
　　特别地，称称为的负矩阵．
　　2、 运算性质
　　满足结合律和分配律
　　结合律： (λμ)A=λ(μA) ； (λ+μ)A =λA+μA．
　　分配律： λ (A+B)=λA+λB．

　　典型例题
　　例6.5.1　已知两个矩阵　　满足矩阵方程，求未知矩阵．
　　解　由已知条件知
　  　
　　　　

三、矩阵与矩阵的乘法

　　1、 运算规则
　　设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．
　　(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

　　典型例题
　　例6.5.2　设矩阵　　计算
　　解　是的矩阵．设它为
　　　　

　　　　
　　想一想：设列矩阵，行矩阵，和的行数和列数分别是多少呢
　　是3×3的矩阵，是1×1的矩阵，即只有一个元素．

　　课堂练习
　　1、设，，求．
　　2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．
　　3、设列矩阵，行矩阵，求和，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？
　　4、设三阶方阵，三阶单位阵为，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．

　　解：
　　第1题．　　第2题
　　对于，．　　求是有意义的，而是无意义的．

　　结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．
　　第3题
　　是矩阵，是的矩阵．
　　　       ．
           
    结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．
　　第4题
　　计算得：．
　　结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．
　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．

　　典型例题
　　例6.5.3　设，试计算和．
　　解　
　　　　　　
　　　　　　．
　　　　
　　　　　　
　　　　　　
    结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．

　　例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组　　可以写成矩阵的形式＝　　若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为，，，　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：．

　　2、 运算性质（假设运算都是可行的）
　　(1)　结合律　．
　　(2)　分配律　（左分配律）；
　　　　　　　　　（右分配律）．
　　(3)　．
　　 3、 方阵的幂
 定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．

四、矩阵的转置

　　1、 定义 定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．　　例如，矩阵的转置矩阵为．
　　2、运算性质（假设运算都是可行的）
　　(1)　
　　(2)　
　　(3)　
　　(4)　，是常数．

　　典型例题
　　例6.5.5  利用矩阵　　验证运算性质：
　　解　；
　　而
　　　　
　　所以
　　　．

 定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．　　对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式

　　1、定义 定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．
　　2 、运算性质
　　(1) （行列式的性质）
　　(2) ，特别地：
　　(3) （是常数，A的阶数为n）
　　思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？

　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．
　　例如，则．
　　于是，而．
　　思考：设，有几种方法可以求？
　　解  方法一：先求矩阵乘法，得到一个二阶方阵，再求其行列式．
　　　　方法二：先分别求行列式，再取它们的乘积．

3、逆矩阵
     逆矩阵: 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得: AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。其用A^(-1)表示。
   逆矩阵的性质为：
    1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
   2 可逆矩阵一定是方阵。
3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。
4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

 其中的方阵：就是行和列数相等的矩阵。
行列式：其就是求一个矩阵的数值，一般使用上三角或者下三角。其如下：


满秩矩阵：一个判断线性方程是否有解的关键条件，其是其说的就是要线性无关，其可分为列满秩和行满秩。其概念是：
满秩矩阵(non-singular matrix): 设A是n阶矩阵, 若r(A) = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩;若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。其中的R（A）指的就是求其秩。其中的行满秩就是行向量线性无关；列满秩就是列向量线性无关；其示意图如下：


   3、 列（行）满秩阵与方程关系：
 
这也是为什么相机标定的时候每个视场只能提前四个有用的点，这时因为第五个点肯定跟前面的四个点其中一个线性相关，意思就是（x，y）（X,Y）这个肯定跟前面的一个点成倍数关系，这样子在求秩的时候，有成倍数的行会被化成零，则这就成了降秩了，就不是满秩了。