高斯滤波的快速实现

http://www.cnblogs.com/ImageVision/archive/2012/06/11/2545555.html

二維高斯函數具有旋轉對稱性，處理後不會對哪一個方向上的邊緣進行了過多的濾波，因此相對其他濾波器，具有無法比擬的優越性。但是傳統Gauss濾波隨著圖像尺寸的增加，運算復雜度呈平方上漲，因此需要對其優化改進。下面，分別介紹傳統型，分解型和遞歸迭代型三種實現方法。

　　

1 傳統型

　　Gauss濾波首先需要構建一個Gauss濾波核，公式為：

Matlab實現代碼：

?

dSigma =0.8;

fK1=1.0/(2*dSigma*dSigma);

fK2=fK1/pi;

iSize = 5;

step = floor(iSize/2 + 0.5);

for i = 1 : iSize

    x=i-step;

    fTemp=fK2*exp(-x*x*fK1);

    for j = 1 : iSize

        y=j-step;

        model(x+step,y+step)=fTemp*exp(-y*y*fK1);

    end

end

dSum = sum(sum(model));

model = model/dSum;                     %Gauss核數值歸一化

　　

圖1 Gauss濾波核（5*5大小）

　　接下來就是將輸入圖像和濾波核進行卷積操作。其實質就是對原始圖像進行加權求和，把這個「和」賦給中心像素。對於一個2048*2048的圖像，需要進行104734756次乘法運算，和104734756次加法運算，運算復雜度是很高的。

2 分解型

　　

　　我們可以把一個二維Gauss核分解為兩個一維高斯核，然後先對行做一次一維卷積，再對這個卷積結果做一次一維列卷積，得到的結果完全一模一樣，而開銷會小很多。

一維高斯核函數:

　　Matlab代碼實現：

?

dSigma =0.8;

fK1=1.0/(2*dSigma*dSigma);

fK2=fK1/pi;

iSize = 5;

step = floor(iSize/2 + 0.5);

for i = 1 : iSize

    x=i-step;

    fTemp=fK2*exp(-x*x*fK1);

    model(1,x+step) = fTemp;

end

dM = sum(model);

model = model / dM;

　　

圖2 一維高斯濾波核（1*5大小）

　　一維卷積原理和二維卷積一樣，只不過我們只需要將同一行或同一列上的數據，按位置一一加權求和，再把「和」賦給中心元素。

　　對於一個2048*2048的圖像，需要進行41918464次乘法運算，和41918464次加法運算。相比傳統運算量，只是前者的1/2.4985。如果遇到頻繁計算Gauss濾波的算法，後者明顯比前者速度快很多。

3 遞歸迭代型

　　第二種方法較第一種方法，雖然有了較大改善，但是任然復雜度較高。這裡再介紹一種更快速的逼近Gauss濾波方法。

     具體步驟分為兩步：首先對圖像做一次前向濾波，其次，對圖像再做一次後向濾波。

　　Forward：

　　Backward:

參考資料：Recursive implementation of the Gaussian filter。 Ian T. Young,1995