DP背包小结(2)（结构完整，内容简洁，状态方程篇）

0 背包小结2，以下状态转移代码，假设所有相关变量及数组都已初始化，物品对应体积和价值都从下标为1的数组开始存储,dp[]或者dp[][]是各个状态下的背包内所装物品总价值。

对于下面用到完全背包模型的，都可以预先进行一步优化，筛选掉所有满足volume[i]<volume[j]&&value[i]>value[j]的i和j物品，对于随机生成的数据来说，可以删掉很多不符合的物品。

1 01背包（背包总容纳bag，有type种物品，每种物品只有一个选择放还是不放,给出对应体积vlume[i]、对应价值value[i]）

1)二维数组（建议充分理解，而不用之做题）（因为容易忘记将因体积原因放不进去的状态赋值，以及最后遍历v:0->bag寻找最大值）

//01背包 二维数组for(int i=1;i<=type;i++){    for(int j=0;j<=bag;j++){if(j>=volume[i]){dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-volume[i]]+value[i]);}else{dp[i][j]=dp[i-1][j];//注意}} }    int maxx=0;    for(int j=1;j<=bag;j++){        maxx=max(maxx,dp[type][j]);    }

//dp[i][j]指选择完第i个物品放或不放后 背包容量为j时，背包内所有物品的价值
//二维数组因为不能像一维数组一样自动更新，所以如果第i个物品装不进去时，要使dp[i][j]继承上一个物品放置之后的状态dp[i-1][j]而不是维持初始值。

2)一维数组

//01背包 一维数组for(int i=1;i<=type;i++){for(int j=bag;j>=volume[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-volume[i]]+value[i]);}}

//01背包，每种物品只有一个，该种物品的值不叠加，所以倒序，详见上一篇博客 DP背包问题小结(01背包，完全背包，需恰好装满或不需，一维DP、二维DP)

HDU2602 裸01背包

2 完全背包（背包总容纳bag，有type种物品，每种物品有无限多，给出对应体积vlume[i]、对应价值value[i]）

//完全背包 一维数组for(int i=1;i<=type;i++){    for(int j=volume[i];j<=bag;j++){dp[j]=max(dp[j],dp[j-volume[i]]+value[i]);}} 

//完全背包，每种物品无限多个，该种物品的值可以叠加，所以直接正序，详见上一篇博客 DP背包问题小结(01背包，完全背包，需恰好装满或不需，一维DP、二维DP)

HDU4508 裸完全背包

3 多重背包 

①耗用更多内存，来换取更快的时间：

（背包总容纳cash，有n种物品，每种物品有给定数量species[i].num，每种物品有给定的价值species[i].deno，这里物品的体积等同于价值。）

（使用的number[j]是指，第i个物品在当前的背包内存储金额j的情况下使用的数量，正是这个数组的使用来做到用空间换时间）

        for(int i=0;i<n;i++){            memset(number,0,sizeof(number));            for(int j=species[i].deno;j<=cash;j++){                if(dp[j]<dp[j-species[i].deno]+species[i].deno&&number[j-species[i].deno]+1<=species[i].num){                    dp[j]=dp[j-species[i].deno]+species[i].deno;                    number[j]=number[j-species[i].deno]+1;                }            }        }

②耗用更多时间，来换取更少内存使用：

（背包总容纳bag，有type种物品，每种物品有给定的数量，给出对应体积vlume[i]、对应价值value[i]、对应数量number[i]）

注意！倒序！ 

以下两者都是利用倒序  每一种物品都只放一个的特性，前者是该类物品放k次每次都放一个，后者是该类物品放一次 一次从1到k 放入个数依次增大

//多重背包，一维数组for(int i=1;i<=type;i++){int minn=min(number[i],bag/volume[i]);//这里for(int k=1;k<=minn;k++){for(int j=bag;j>=volume[i];j--){//注意是倒序，否则就错了dp[j]=max(dp[j],dp[j-volume[i]]+value[i]);}}}

（POJ1276找零钱）

//防止给出的该类物品个数大于实际上能存储的该类物品最大数量(有些用母函数的代码，就是在这里判断一步，如果给出的数量大于背包总容量除以该类物品体积得到的数量，那么就认为该类物品是取不完的 可以转化为完全背包来做，否则就转化为01背包)

OR

for(int i=1;i<=type;i++){for(int j=bag;j>=volume[i];j--){//注意是倒序，否则就错了for(int k=1;k<=number[i]&&(volume[i]*k<=j);k++){//k=0开始就是不放等同于dp[j]，所以不用从0开始dp[j]=max(dp[j],dp[j-volume[i]*k]+value[i]*k);}}    }

HDU2191 裸多重背包

4二维费用的背包问题 （隐晦表示二维费用背包：有时候题目交代背包最多存x件物品，这是隐晦地表示背包能存件数也是一种费用。）（加多重背包的，类似，加数量那一步循环）

//二维费用背包（两种代价） 完全背包（每种物品无限多个）——所以正序for(int i=1;i<=type;i++){    for(int j=volume[i];i<=bag_volume;i++){        for(int l=weight[i];l<=bag_weight;l++){            dp[j][l]=max(dp[j][l],dp[j-volume[i]][l-weight[i]]+value[i]);        }    }}

OR

//二维费用背包（两种代价） 01背包（每种物品只有一个）——所以倒序for(int i=1;i<=type;i++){    for(int j=bag_volume;j>=volume[i];j--){        for(int l=bag_weight;l>=weight[i];l--){            dp[j][l]=max(dp[j][l],dp[j-volume[i]][l-weight[i]]+value[i]);        }    }}

HDU2159 裸二维背包

5混合背包

看情况组合，部分多重背包在数量足够的情况下可以转化为完全背包，而完全背包又可以转为01背包处理

HDU3591混合背包-经典

6分组背包

7有依赖背包

8泛化物品

9部分算法优化以及背包问题问法变化

1）二进制优化

//注意，number[i]已被改动，如果不想原来的数组里改动，可以另存一个数组里、参考下面给出例题的解题报告。for(int i=1;i<=n;i++){    for(int k=1;k<=number[i];k*=2){        for(int j=bag;j>=volume[i]*k;j--){            dp[j]=max(dp[j],dp[j-volume[i]*k]+k);        }        number[i]-=k;//!!!    }    for(int j=bag;j>=volume[i]*number[i];j--){        dp[j]=max(dp[j],dp[j-volume[i]*number[i]+number[i]);    }}

HDU3591混合背包-经典

剩下的再写、

对应题目，请参考本博客DP一类下有关背包的题目。

（本文内容结构参考了dd大牛《背包九讲》，链接之一，http://www.cnblogs.com/jbelial/articles/2116074.html）（注意里面有小错误）